Question

Rose

特性方程式を解く過程はなぜ解答に書かなくてもいいの？

496
基本例題 104 an+1 = pan+g 型の漸化式
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
α=4, an+1=2an-1
CHART
OLUTION
漸化式 an+1= pan+g (p=1, g≠0)
特性方程式 α= pa+α の利用
50100000
......!
JOITUIO
p.494 基本事項 1,2,基本100
2 階差数列の利用 ・・・・・・
① について
an+1=pan+q (p=1, g≠0)の形の漸化式から一般項を求めるには,
か.44 の基本事項2 で紹介した, 特性方程式を利用する方法が有効である。
an+1=2an-1...... ① において, an+1, an の代
②に
解答)
an+1=2an-1 を変形すると
an+1-1=2(an-1)
ここで, bn=an−1 とおくと
an+1=2an-1
a=2α-1
an+1-α=2(a₂-α)
わりにαとおいた方程式 α=2α-1 ......
対して, ①-② を計算すると
an+1-α=2(an-α)
そこで,数列{an-α}(数列{an}の各項からαを引いた数を頂とする数列)を
考えると,公比2の等比数列であるから,まず,この数列{an}の一般項を
求める。
②について (別解 参照)
an+1=pan+α
an+2=pan+1+g
④-③ から an+2an+1=p(an+1-α) が得られる。
-)
③ において,nの代わりにn+1 とおくと
bn+1=26n, b1=α1-1=4-1=3
数列{bn}は,初項3, 公比2の等比数列であるから
bn=3.2n-1
bn=an+1- an とするとbn+1=0となり、数列{an}の階差数列{bn}は等比
数列となる。
(E-ON
1,2とも等比数列の形が導かれ, 一般項を求めることができる。
←の方針。
別角
(
α=2α-1 の解は
q=1
なお、この特性方程式
を解く過程は、解答に書
かなくてよい。
よって
an=bn+1=3・2-1+1
[inf.慣れてきたら,以下のように bn とおき換えず, an-α のまま考えるとよい。
an+1=2an-1 を変形すると an+1-1=2(an-1)
また
α-1=4-1=3
よって, 数列{an-1}は,初項3,公比2の等比数列であるから
an-1=3.2n-1
(6)
20
ゆえに an=3.2n-1+1
R

Answer 1

みなみ

一般に式変形の過程はそこまで重視されないと思います。
特にこういう問題は等比数列とわかる形に変形してからの話であって、その変形過程はどうでもいいのではないでしょうか。

Rose

ありがとうございました！