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32 第1章 式と証明
練習問題 9
(1) a≧060 のとき
33
第1章
a+b.
(2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば
≧vab
2
A+B≧2AB ...... ①
が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを
が成り立つ.
答えよ. ×
dto<I+do
A=
(2)a>0b>0 のとき
b
S
=122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから,
a
①の不等式より
a
b
b a
a b
+ ≥2
a
+ ≧2.
a b
ba
√ a b
A+B≧2√AB
であることを示せ.X
すなわち
b a
精講
不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した
不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0
であることがいえれば,
+ ≥2
a
b
が成り立つ.
コメント
A'B' ⇒ A>B ...... (*)
が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり
ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上
の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます).
(2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます.
解答
(1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20
をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった
vab
をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮
かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると
見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb
となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では
2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った
a+b
2
見る
-da
a2+2ab+62
a+b
2
≧vab
--ab
4
a²-2ab+b²
-d) α² +2ab+b2-4ab
4 <D
を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より
大きくなる」ということを意味しています。
4
例えば, a=4, 69 のとき
(a-b)2
「成り立
4
-≧0 (α-6 は実数より)
4+9
2
=6.5, √4-9-6
よって,
(左辺) (右辺)
20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので
(左辺) (右辺)
A≧0, B≧ であれば
A'≧B2
ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。
(2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した
⇒ A≧B
等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ
a+b2ab
の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚
えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます
