特性方程式を解く過程はなぜ解答に書かなくてもいいの？

496 基本例題 104 an+1 = pan+g 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 α=4, an+1=2an-1 CHART OLUTION 漸化式 an+1= pan+g (p=1, g≠0) 特性方程式 α= pa+α の利用 50100000 ......! JOITUIO p.494 基本事項 1,2,基本100 2 階差数列の利用 ・・・・・・ ① について an+1=pan+q (p=1, g≠0)の形の漸化式から一般項を求めるには, か.44 の基本事項2 で紹介した, 特性方程式を利用する方法が有効である。 an+1=2an-1...... ① において, an+1, an の代 ②に 解答) an+1=2an-1 を変形すると an+1-1=2(an-1) ここで, bn=an−1 とおくと an+1=2an-1 a=2α-1 an+1-α=2(a₂-α) わりにαとおいた方程式 α=2α-1 ...... 対して, ①-② を計算すると an+1-α=2(an-α) そこで,数列{an-α}(数列{an}の各項からαを引いた数を頂とする数列)を 考えると,公比2の等比数列であるから,まず,この数列{an}の一般項を 求める。 ②について (別解 参照) an+1=pan+α an+2=pan+1+g ④-③ から an+2an+1=p(an+1-α) が得られる。 -) ③ において,nの代わりにn+1 とおくと bn+1=26n, b1=α1-1=4-1=3 数列{bn}は,初項3, 公比2の等比数列であるから bn=3.2n-1 bn=an+1- an とするとbn+1=0となり、数列{an}の階差数列{bn}は等比 数列となる。 (E-ON 1,2とも等比数列の形が導かれ, 一般項を求めることができる。 ←の方針。 別角 ( α=2α-1 の解は q=1 なお、この特性方程式 を解く過程は、解答に書 かなくてよい。 よって an=bn+1=3・2-1+1 [inf.慣れてきたら,以下のように bn とおき換えず, an-α のまま考えるとよい。 an+1=2an-1 を変形すると an+1-1=2(an-1) また α-1=4-1=3 よって, 数列{an-1}は,初項3,公比2の等比数列であるから an-1=3.2n-1 (6) 20 ゆえに an=3.2n-1+1 R

漸化式の問題です。途中過程を教えて頂きたいです。

(2) 数列{an}の一般項 αn 448 漸化式 α = 1, an+1=2an+n (n=1,2,3,...) で定まる数列 ついて考える。 an (1) bn = 2n とおき, 数列{bn}の階差数列を {cn} とする。すなわち、 Cn=bn+1-6n と定める。 数列{cn}の一般項を求めよ。 (首都大学東京 (2) 数列{an}の一般項を求めよ。 449 1歩で1段または2段の階段を昇るが, 1歩で2段昇ることは連続しない ものとするとき, 15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。 (京都大･

(4)が分かりません 解説お願いします！

= (3) a₁ = 1, an+1 (4) a₁=1, an+1 = 2an+32 (n = 1, 2, 3,) →特性方程式使えない 2an+2n +1 (n=1, 2, 3, ······)

この問題の解き方を教えてください 1枚目が問題2枚目が答えです

a₁=2, an+1= 2an an+1

数B得意な方お願いします。 漸化式の問題です。 なぜbnは5•2n-1+3と言い切れるのですか？ 何のために初項を求めたのか分かりません。

れる。 換えた等式 -1=5an-4 =5a-4 例題 14 -a=pla 次のように定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a1=8, an+1=2an-3 4-6 an+1=2an-3 を変形すると, an+1-3=2(an-3) したがって,数列{an-3} は,初項 α1-3=5,公比2の等比数 列となり, an-3=5・2n-1 よって, an=5.2n-1+3 α=2a-3より、α=3 問42 次のように定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (1) a1=2, an+1=2an+1 (2) a1=7,an+1=-2an+6 研究 階差数列を利用した漸化式の解法 α=11, an+1=2an-3n 1 で定められる数列{an}の一般項を、階差数列を用いて求めてみよう。 ①のnにn+1 を代入すると, an+2=2an+1-3(n+1) .... (2 ②① より an+1-an=bn とおくと,③は, bn+1=2bn-3 a2=2a-3・1=2・11-3=19 ① に n=1 を代入 であるから、数列{bn}の初項 by は, よって、上の例題14 と同様にして α2-α=19-11=8 bn=5.2"-1+3 数列{bn} は数列{an} の階差数列であるから、数列{an}の一般項は, n≧2のとき、 n-1 an= a₁ + +3(n-1) an+2an+1=2(an+1-an) -3 5(2-¹-1) +(5.2k-¹+3)=11+ 2-1 p.42 1②23.p.44 5. =5.2"'+3n+3 この式は, n=1のときも11となり, 初項α と一致する。 よって, an=5.2" 1+3n+3

画像の緑の付箋についての問題なのですが、普通は公比がくっついている方を数列として表しますよね。ここでは左辺の方を数列として表していますが、どういう考え方をすればこの式が成り立つのか教えてください。

どの位置が に移るか、 る. A,B,C (北海道大) 13 1 13 Bに行った (2) 点Pが秒後に点Aにいる確率は an, (n-1) 秒後に 点A, 点Cにいる確率は, それぞれ an-1 C-1 である. また、点Aにいる点Pが1秒後も点Aにとどまる確 率は1/13, 点Cにいる点Pが1秒後に点Aに移る確率は 3' 練習 1/2 であるから, * 2 An=an-₁ • 3 + C₁-1• 1/2 = 3/10 (3) 同様に考え, = |___ɑn=— a₁=b₁ an=bn が成り立つ. また, an+bn+cn=1 より, Cn=1-(an+bn)=1-2an 6:00 an bn=1/30n-st Cn-1 Cn=nan-1 ① に C-1=1-2an-1 を代入して整理すると, 2 gan-1+bn-1 と ①,②より すべてのnに対して, 3 1 よって, 公比 - 22 の等比数列で, -- 3 10 30 -an-1 ・an-1 + 2/1/2 したがって, ④は, an- 3 り、数列{an-1は,初項 α1- 511 An 10 3 10. 3 10 2n-1 Cn=1-2an=" ・② H 3 3 10 とな 1 3 10 30' an-1 ・① 10 点Bにいる点Pが1 第8章 秒後に点Aに移るこ とはない. (一景) 数列{am一部ではなくて 2n-1 an= =bn= 数列{an-部の理由 確率の和が1である ことを利用して Cn-1 を消去する. ④の特性方程式は 12/3a+21/22 £ a=-- y, a=30 10 △ABC の頂点は反時計回りにA,B,Cの順に並んでいるとする. 点Aを出発

特性方程式が使えない時はどんな時ですか？

（3）は特性方程式でとけますか？解き方を知りたいです

例題 290 漸化式と一般項 次のように定義される数列{an}の一般項an を求めよ. (1) α=1, an+1-an=4 (3) a1=2, an+1=an+6n-1 え方 次の3つの形のどれかになるように与えられた式を変形する (2) a1=3, an+1+2an=0

何故この丸で囲ってある答えになるのか教えてください🙏

般項を求めよ。 ②1 = 4, @m+1=3an+2" (n=1, 2, 3, ...) で定められた数列{anの 思考プロセス 「既知の問題に帰着 定数にしたい an+1=3a+2" 漸化式 an+1= 3an 2+1 Ax+1 2+1 an+1 2 結局2"で割った 3 Action》 漸化式 an+1=pan+g" は,両辺をQで割れ 2015 b an 2" ① は, α = + とおくと bn 2" で割る 3 34+2" の両辺を2"+1で割ると 2" より 2"+1 += pan+q 型にしたい。 a+ bn+1+1= -1 より an = 3" bn+1 の等比数列であるから bn+1=3 3" 2²-1 an+1 3n+1 3" bn = am =3· +1 = 1 を満たす α = -1 を用いて変形す 2 ると (bn+1) a1 よって,数列{bn+1} は初項 bı +1 = 0 +1 = 3,公比 n-1 3 とおくと n≧2のとき, 61 an+1 3 an 2n+1 2 2" 3 bn + bn (別解) 漸化式 an+1=3an+2" の両辺を3+1で割ると n an 2 3 + 1/3 - ( ²3 ) " bn+1-bn a1 3 もう1度 2で割る 2 = an=2"bn=23"-2" n = + ( - 3 n+1 ・① = 3n 22-1 n 1/18(1/31) であるから k n -)* = 2 - (-²/3)^² an+ n=1 を代入すると14/08 となり, bıに一致する。 3 よって an=3".bn=2.3"-2" 2²² +1 bn+x 3-2 (2+1 = 2.2 より 3an 2+1 22 2+1 = bn 30/210/2 特性方程式 bn 5/8 b₁ = 42 = 2 1 = より an 2" an=2".bn k=1 5 Lan+1= panto をp+1で割っ こともできる。 は It ・項数 3' 数列の和

(2)(3)を途中式も含めて教えてください

問題 9. 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 (1) α=4, an+1=an-3 (n=1, 2, 3, ......) (2) a1=1, an+1=1-an (n=1, 2, 3, ......) (3) a1=1,2an+1-an+2=0 (n=1,2,3,.....)