基礎問
186
103 絶対値のついた関数の積分
対数つける.
ets bc
(1)
f(x)=fle-rldt (1<x<e)とするとき,次の問いに答えよ。
(1) f(x) を求めよ.
(2) f(x) を最小にする の値を求めよ.
定積分する関数には、xとtの2文字が含まれています。このよう
なとき、 「どちらの文字で積分するのか?｣ ということが第1のポイ
ントですが,これは 「dt」 を見るとわかります. すなわち,これは
tで積分しなさい」 といっているのです. だから,積分を実行するとはい
なくなって、だけが残ることになります. 左辺が 「f(x)」 とかいてあるのは
このためです.
第2のポイントは,積分の方法です。基本的には絶対値がついているので
「はずす」ことになりますが, 102 の精選に,
精講
ⅡI. グラフを利用する
とあります。 今回はこれを利用します。すなわち, y = et と y=x のグラフ
を利用しますが,問題は,y=x のグラフです.「原点を通り,傾き1の直線で
しょ?」 と思った人は要注意です。
解答
(1) 1<x<e だから, 0≦t≦1 において
ef=x をみたすt が存在し, そのときのtの
値は t=10gx (右図参照)
(
:. \et-x|={
-(et-x)
-{-le
=
et-x
[agetc (of よって、
Clog.x
Eleje] - [eff f(x) = -√ (e-x) dt+₁(e²-x) dt
log.x
to log k
[e²-xt]
log.x
(0≤t≤log.x)
(log x≤t≤1)
+
10
Jlogx
=-2(elogz-xlog) +1+e-x
=2xlogx-3x+e+1 (elogs=xより)
Ay y=et
e
2C
O
|logx
y=x
