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基本例題 85 2次関数の最大･最小と文章題 (2)
直角を挟む2辺の長さの和が20である直角三角形において, 斜辺の長さが最小
の直角三角形を求め、その斜辺の長さを求めよ。
SSPARELS
指針 まず何を変数に選ぶかであるが,ここでは直角を挟む2辺の和
が与えられているから, 直角を挟む一方の辺の長さをxとする。
三平方の定理から, 斜辺の長さは1=√f(x) の形。 (
そこで,まずp=f(x) の最小値を求める。
なお,xの変域に注意。
解答
直角を挟む2辺のうち一方の辺の長さを
xとすると,他方の辺の長さは 20-x
で表され, x>0, 20-x>0 であるから
0<x<20 ...... ①
斜辺の長さを1とすると, 三平方の定
理から I2=x2+(20-x) 2
1
1
CHART f(x)の最大・最小 平方したf(x) の最大・最小を考える
1
400
200
○
1
最小
が成り立つことを根拠にしている (数学ⅡIで学習)。
このことは,右の図から確認することができる。
なお,a<0,6<0のときは成り立たない。
10
20 x
=2x²-40x+400
=2(x-10)'+200
①の範囲で, lはx=10で最小値 200 をとる。
このとき、 他方の辺の長さは
20-10=10
>0であるから, が最小となるときも最小となる。
よって、求める直角三角形は,直角を挟む2辺の長さがともに
10 の直角二等辺三角形で、斜辺の長さは 200=10√2
x
検討 f(x)の最小値の代わりにf(x) の最小値を考えてよい理由
上の解答は, a > 0, 6> 0 のとき
RE
y4
a<b⇒a²<b²
変数xを定めxが何であ
るかを書く。
@+ (E
1辺の長さは正であることを
利用してxの変域を求める。
620
基本84
√²+(20-x
にはxの2次式。→基本
形に直してグラフをかく。
グラフは下に凸,
軸は直線x=10,
頂点は点 (10, 200)
の断りは重要。
a²
20-x
O
y=x21
小 大
a b x
AS 1.8Aas
練習
∠B=90°, AB=5,BC=10 の △ABCがある。いま、点Pが頂点Bから出発し
② 85 て辺AB上を毎分1の速さでAまで進む。 また, 点QはPと同時に頂点Cから
出発して辺BC上を毎分2の速さでBまで進む。 このとき, 2点PQ間の距離
D間の距離を求め上
