数学得意な方お願いします。証明自体は理解できたのですが棒線部(オレンジ)が分かりません。

P182 <不等式の証明> 例題(5) x>0のとき、次の不等式を証明せよ。 elex, 1+x+√√x² gcx1 = e² - ( [+ x + ≤ x²³167C²₁ g ₁x1 = (^²-(1+x) (11 5 11 X 70 ak & g'(x) 70 (t = fm, 2 g(x) (FXzonet ¹8md 3. fcol = 02" +²3 0¹5₁ x70 net fex²²0 g101=02² & 3 6²4 x²0A E E Gcx 120 fizxzoare e²7 / + x 512 770048, ex > 1+x+ = x² tr 41 111 ex>1+x f(x) = ex-(1+x/x fick fix)= ex-1 I x70 arz exy/ zº #30¹5 f'cx / 70 したがってf(x)はxC30のとき増加する。 (²154₁ X ²0 a 4£ ex > {x² $6²5 ex > { x 64 ± 20 7 7 Lt=p²² ₂² lim √√ x = ∞ tº $3 14 lim (?= x+002 x70 x 一般に自然数いに対して次のことが成り立つ。 lim ex ∞ line 24 *** x² [xxx ex

f"(x)>0となる理由がわかりません。 xの値が0<x<1の場合でもf"(x)>0となるのはどうしてなのか解説お願いします🙇‍♀️

[21] [改訂版ベーシックスタイルⅢ受岩手大] ★ x2 ox>0のとき, ex> が成り立つことを示せ。 2 O

この問題の(1)の回答の最後で、どうして4√a=3√bを二乗するのですか？回答よろしくお願いします

基本例題 28 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また, (1) の等号が成り立つのはどのようなときか｡ (1) a≧0,b≧0のとき 5√a+b=3√√a +4√/6 (2) a>b>0のとき √a-b>√a-√b 不等式の証明 (平方の差を作る) MA らしい

数3の微分の不等式の証明です。これ(1)(2)の誘導はガン無視しているのですが、(3)でこのような方法は正解になりますか？

以下の各問に答えよ。 (1) 関数f(x)=xlogxを微分せよ。 (2) 次の等式をみたすcがx<c<x+1の範囲に存在することを示せ。 (x+1)log(x+1)-xlogx=1+logc (3) x>0)のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。 ただしeは自然対 数の底である。 ( 姫路工業大)

赤い下線部を引いたところについて質問です。 (ベクトルは省略します) a＝a+b b＝-bと表記するのは何故ダメなのでしょうか？

実数tの値と、 基本 10,15 になく、大き で表すこと +4 2-(1/3)+4 となると 最小になる。 350 参照｡ 59 +4 大] 例題 よって Fo 2 20 内積と不等式 の不等式を証明せよ。 la-61≤lä||b1 [Q] | CHART COLUTION 不等式の証明 A B のとき A≦BA'≦B2 ...... (1) 内積の定義を利用するか, または成分を用いて証明する。 成分を用いて証明 するときは, lab/s (alb) を示す。 (2) まず、右側の不等式 la +6|≦|a|+|6| を証明する。 途中, (1) の結果が利用 できる部分がある。 左側の不等式 |a|-|6|≦a +6|は、先に示した右側の不 等式を利用して示すとよい。 または = 0 のとき,a6=0,la ||5|=0 であるから la-b|=|a||6| のとき, a とものなす角を0とすると a-6=|a|||cos0, -1≦cos0≦1 20 ≧0であるから 2) (1) 5 (a+b)²-|ã + b ² Dila-b|=||||| cos0|≤|a||5| cos0|≦1 よって、|26|≧||||が成り立つ。等号が成り立つのは, i=(a,b), =(c,d) とすると 01 a=d または =0 また a // のとき。 (ab²-a-b²=(a²+6²)(c²+d²)— (ac+bd)² =dd2+B2c2-2acbd=(ad-bc)2≧0 |a •6|≧|||| 0<S- = 2(à ||b|—à·b) ≥0 (2) la|-|6|≤a+b|≤|à|+|b|, la+6³≤(al+16D² +1≧0, 17+1≧0であるから |a+b|≤|ã|+|b| ... (1) において、をを - とすると ...... la+b-b|sla+61+1-61 En läslä+61 +161 tal-16sla+61 14+1*S\S³A =a²+2|a||6|+|b³²−(|a³²+2à·6+6³²)‚©‚_=(â+b)·(a+b) 0.05 lal-16|≤|a+b|≤|a+b WINDIANI BOW OF I f-fix dd: 7/2C p.352 基本事項 1 (1) 条件 ｢a=d または 0」の否定は ｢ad かつ 0」 HOAK FACE PRACTICE･・･･ 20③ 不等式 |3a+26|≦3|a|+2|6| を証明せよ。 inf. a∙b|≤|ab|6£ -lab≤a.b≤|ab| 758859166106" と表すこともできる。 <la+b1² (1) から |-8|=|6| +15をベクトルの三角不等式ということがある。 S ● 方 365 azath 1章 ベクトルの内積

数3 微分法 の問題です。 マーカーの部分が分かりません なぜx>1とする必要があるのは何故ですか？

264 基 本 例題 167 不等式の証明と極限 (1) x>0 のとき, x 10gx であることを示せ。 logx (2) (1) を利用して, lim X→∞ CHART OLUTION 不等式の証明と極限 はさみうちの原理を利用 (1) f(x)=左辺(右辺)とし, f(x) > 0 を示せばよい。 f(x) の増減表を作り, (最小値) > 0 を示す。 (2)(1) の不等式を利用して、 f'(x)= lim x-∞ √x 解答 (1) f(x)=√x-logx (x>0) とすると 1_√x-2 2x 1 2√x -=0 であるから INFORMATION 例題で証明した lim - = 0 を示せ。 x f'(x)=0 とすると √x =2 これを解いて x=4 x>0 におけるf(x) の増減表 は右のようになる。 x>0のときf(x)≧f(4)=2-log4=loge²-log4> 0 よって, x>0 の √x>logx (2)x→∞について考えるから,x>1 としてよい。 このとき (1) から 0<logx<√x 各辺をx(>0) で割って logx x X→∞ logx x 0 < x f'(x) f(x) logx XC を不等式ではさむ。 logx lim X→∞ x <. 0 1 √x -=0 T 4 0 極小 2-log 4 + > ...... INS *** (<(x)) 00000 ■2=210ge=loge² また, 2<e<3 である から 4<e²<9 |基本 165 はさみうちの原理 -=0 において, logx=t とおくと x=e であり, te' x→∞ のとき → ∞ であるから, lim- この2つの極限はよく使われるので覚えておくとよい。 次ページも参照。 x = 0 すなわち limax=0 も成り立つ。 PRACTICE･･・･ 167③ (1) 0<x<πのとき, 不等式 xCOSx < sinx が成り立つことを示せ

数Ⅱの不等式の証明です。 この問題を解くに当たって、相加相乗平均の大小関係を用いるらしいのですが、どのようにすれば解くことができるのかわかりません。 解説よろしくお願い致します。

14 x,yを正の実数とするとき, 不等式 うなときか。 ( 25点) 2 ≦√xy を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのよ + 1 1 + x 3 [ 東京海洋大]

高一数学の不等式の証明です。 ⑵で黄色い線を引いてあるところが何しているか分かりません。特に左辺はなんでなったのか全く分からないです。 解説をお願いします🤲🏻🙇‍♀️

! 重要 例題 35 不等式の証明の拡張 |a|<1,|6|<1, |c|<1 のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 基本 27,29 (2) abc+2>a+b+c (1) ab+1>a+b CHART & THINKING 似た問題 1 結果を使う 2 方法をまねる (1) 大小比較は差を作る方針。 (2) 文字が多いため, 差を作る方針では煩雑になる。 そこで, (2) は, (1) の2文字(a,b)か ら3文字(a,b,c)に拡張された問題であることに注目すると、1の方針で証明できる。 うだ。 (1) の結果をどのように利用すればよいだろうか? |a|<1,|6|<1から|ab|<1であることに注目。 また, (1) を1回利用して不十分な ら, 2回利用することも考えよう。 解答 $84 (= x +.00 (1) (ab+1)-(a+b)=(6−1)a-(6-1)=(a-1)(6-1) |a|<1, |6|<1であるから a-1<0, 6-1<0 よって (a-1)(b-1)>0 すなわち (ab+1)-(a+b)>0 したがって ab+1>a+b (2) |a|<16|6| < 1 であるから |ab|<1 |ab|<1,|c|<1 であるから, (1) を利用して (ab)c+1>ab+c abc +2 > ab+c+1 (ab+1)+c>(a+b)+c abc+2>a+b+c よって (1) から ゆえに 別解 (abc+2)(a+b+c)=(bc-1)a+2-b-c |b|<1, |c|<1 であるから よって bc-1<0 |a|<1 であるから a <1 ゆえに よって 0=(3+v)sv+x²(x+y) 0=(sx+*(s+x+ |bc|<1 ( bc-1)a>(bc-1)・1 ( bc-1)a+2-6-c>bc-1+2-6-c ■RACTICE 35° |b|<1, |c|<1 であるから ゆえに (b-1)(c-1)>0 したがって abc+2>a+b+c =(b-1)(c-1) 6-1<0,c-1 <0 大小比較差を作る -1<a<1, -1<6<1 S+V) ← 結果を使う TU (1) の不等式でαを abに bをcにおき換える。 ab+1>a+b の両辺に cを加える。 大小比較差を作る |-1<bc<1 α< 1 の両辺に 負の数 bc-1 を掛ける。

高一数学　不等式の証明です。 (3)です。 黄色い線を引いているところが何してるのかが分かりません。 2分の3という数字もどこからきてるのかわかりません😢 解説をお願いします🙇‍♀️

基本例題 27 不等式の証明 (差を作る) 次の不等式を証明せよ。 また,(3) の等号が成り立つのはどのようなときか。 (1) a>1,6> 1/12 のとき 2ab+1> a +26 (2) x2>4x-7 CHART & SOLUTION 大小比較差を作る A>B⇔ A-B>0/ (左辺) (右辺)の式を (3) a²+3623ab (1) 因数分解。 (2) (実数) 正の数に変形。 (3) 実数)+(実数) 2に変形。 [注意] 一般に,不等式 A≧B の証明においては,問題で要求していない限り,必ずしも等 号が成り立つ場合について書く必要はない。 解答 (1) (2ab+1)-(a+2b)=2ab+1¬a−2b =(26−1)a-(26-1) =(a-1)(26−1) ここで,a> 1,612/12 から b> a-1>0,26-1>0 よって (a-1)(26-1)>0 ゆえに2ab + 1 > a +26 (2) x2 (4x-7)=x2-4x+7 181440 =(x2-4x+4)-4+7 =(x-2)^+3> 0 よってa²+3623ab (6 p.42 基本事項 2| 3+5/5\A)=de+1 +dDVAS+be+x)= 差を作る。 a について整理して共 通因数でくくる。 等号が成り立つのは,a-1226=0 かつ b = 0,すなわち a=b=0 のときである。 よって x2>4x-7 (3) (a²+36²)-3ab=a²-3ab+ • + (³20)² - ( 230 ) ² + 36² \€ = toka 3 (= (a−26)² + 2/0 ² 20 -b 4 について平方完成する。 (x-2)^≧0,3>0 等式・不等式の日 +(a-3 b)² ≥0, 36²20 20 (実数)² + (実数) 2≧0 を利用。

なぜ写真のように言えるのか教えてください（線引いてるとこです）

15 +4 +4 ると なる｡ 照。 重要 例題20 内積と不等式 次の不等式を証明せよ。 (1) |à-b|≤|a||b| CHART ● SOLUTION (2) la-1b|sla+b|≤|a|+|b| 不等式の証明 A≧0, B≧0 のとき A≦B⇔A'≦B2･･････) (1) 内積の定義を利用するか, または成分を用いて証明する。 成分を用いて証明 するときは, la (a) を示す。 (2) まず、右側の不等式 la +6+16 | を証明する。 途中, (1) の結果が利用 できる部分がある。 左側の不等式 |a|-|6|≧|a +6|は、先に示した右側の不 等式を利用して示すとよい。 a = 0, 60 のとき ことのなす角を0とすると 絶対 a∙b=la|lb|cos0, −1≤cos 0≤1 つける ゆえに|||||||cos alla|||. よって, lala | が成り立つ。 Ba=(a, b), b=(c,d) 32 (SERFO,0+1=3 (alb)²-là-b² = (a²+ b²)(c²+d²)−(ac+bd)² 00000 a=1 または T=①のとき, 4=0,la=0 であるから | (1) 条件a = 0 または 10」の否定は |a.b=ab 「ad かつち*d｣ かぜこういえる?? =ad+bc2-2acbd=(ad-bc)2≧0 p.352 基本事項 よって lalal la-b≥0, lab≥0 €345 |à•b|≤|a||b| cos 01 等号が成り立つのは, a=① または 0 また は a // 6 のとき。 inf. a bab -äb≤ä.b≤äb と表すこともできる。