郡数列です (1)だけでも良いので わかる方いらっしゃったら解説お願い致します🙇‍♂️

16 自然数の列を次のような群に分け, 第n群には (2n-1)個の数が入るよ うにする。 1|2,3, 4|5, 6, 7, 8, 9| 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16|… (1) 第n群の最初の項を求めよ。 (2) 2020 は第何群の第何番目の項か。第45群第8番目 <P.33 n2-2n+2

線を引いている部分についてです。 計算過程を教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

485 1から順に自然数を並べて,下のように1個,2個,4個, 基本例題9/ 群数列の基本 となるよ うに群に分ける。ただし,第n群が含む数の個数は 2"-1 個である。 1|2,3|4,5, 6,7|8, 1) 第5群の初めの数と終わりの数を求めよ。 (2) 第2群に含まれる数の総和を求めよ。 【類京都産大) 重要98 CHART O OLUTION 群数列の基本 第々群の最初の項や項数 に注目… 例題のように、群に分けられた数列 を群数列という。 (1) 第4群の末項までの項の総数を Nとすると, 第5群の初めの数は, 自然数の 列の第(N+1)項である。また,自然数の列の第1項の数は1となる。 (2) 連続する自然数の和であるから公差1の等差数列の和で,あとは初項と項 数がわかればよい。初項は(1)と同様にして求まる。項数は問題文から,すぐ もとの数列 に頃を書く 区切りを入れる と分け方の規則 がみえてくる 区切りをとると もとの数列の規 則がみえてくる 3章 群数列 12 1項は 3-2 っすいように 上下にそられ にわかる。 解答) (1) 第4群の末項までの項の総数は 1+2+2°+2°=15 0ぶである スに注意。 数別にはる 1+2+22+2°+2*=31 第5群の末項までの項の総数は よって,第5群の初めの数は 16, 終わりの数は 31 (2) n22 のとき, 第(n-1) 群の末項までの項の総数は 二比3, n-1 2"-1-1 -=2"-1-1 2-1 *22*-1は,初項1,公比 n-1 22*-1= k=1 ゆえに,第n群の初めの数は (27-1-1)+1 すなわち2"-1 これは n=1 のときにも成り立つ。 よって,第n群に含まれる数の総和は,初項が2"-1公差が 1. 項数が 2"-1 の等差数列の和となるから,求める和は 2の等比数列の初項か ら第(n-1)項までの和。 別解第n群の終わりの数 は2"-1であるから,和は k=1 -2-1(2*-1+(2"ー1)} 2 27-1(2-27-1+(2"-1 _1)·1}=2"2(3-2"-1-1)詳の =2"-(3-2"-!-1)() 2 1 種々の数列

郡数列です。 (2)が全くわからないです。 教えてください🙇🏻‍♀️ 赤でまるしている所が(2)です💦

練習 第n群がn個の数を含む群数列 111 について 1|2, 3|3, 4, 5|4, 5, 6, 7|5, 6, 7, 8, 9|6, (1) 第n群の総和を求めよ。 (1) 第n群は初項n, 公差1, 項数 nの等差数列をなすから,そ 1 の総和は n(2n+(n-1)·1}=n(3n-1) |の第々群は数列k, k+1, k+2, ……, 2k-1 であるから, 99が←第ん群は ん。 第々群の第1項であるとすると り項数がんであ I十(1-1の等差数列)。 k<99<2k-1 すなわち 50<R<99 50+(1-1)-1=99 よって ゆえに 1=50 Te したがって,第50 群の50 番目 に初めて 99 が現れる。 1 3) 1+2+3+… +m= m(m+1) m そ2i=-m(- i=1 ゆえに,第m群の末項はもとの数列の第m(m+1) 項である。 第1999 項が第m 群にあるとすると そまず,第1 まれる群を (m-1)m<1999<→m(m+1) 2 すなわち(m-1)m<3998<m(m+1) 2

物性物理学の本を読んでいて、質問があります。 本では， 量子力学による1電子原子の電子状態の記述について 添付のように述べていて， (1.12)式までは良いのですが， 赤枠で囲ったところの式(1.13)の導出過程が知りたいです。 よろしくお願いいたします。

$1.2 1電子原子の電子状態 1 p° = 2me 2 a 1 V= 2m。 2m。(r+ r dr 原子においては,原子核を中心としてそのまわりの半径10-10m程度の領 の形となる。ここでAは次のような角度に関する微分演算子である。* 域を電子が運動している。原子の構造を理解するためには,この電子の振舞 1 sin 0 d0 1 を調べなくてはならない。まず最も単純な場合として,Ze の正電荷をもった A= - (sin 0 sin' 0 核のまわりを,1個の電子が運動している場合を考える。Z=1であればこ 1電子原子のハミルトニアンがこのように具体的に与えられた.このハミル れは水素原子そのものであり,Z =2であれば He* イオンということにな トニアンに対するシュレーディンガー方程式(1.9) は2階の微分方程式の形 る。 をしている。これを満たす解として波動関数T(r, 0, φ) が求まれば,1電 原子の質量のほとんどは核に集中しているので、そこを重心として座標の 子原子における電子の分布の様子がわかる。ところで,原子に属する電子の 原点にとってさしつかえなかろう。電子は -e の電荷をもち,核の正電荷 波動関数は,核から十分遠方(r→0)ではゼロに収束するはずである。こ Ze とクーロン相互作用をもつ。そのポテンシャルエネルギーは電子と核の のような境界条件の下で(1.9)式を考えると,電子のエネルギー固有値 E が 間の距離rに反比例し, 離散的な特定の値をとるときのみ解が存在する。これは量子力学系の顕著な Ze? V(r) = - 特徴である。 4TE0ア 最も低いエネルギー固有値を与える解は球対称で、次の形をしている。 である。* これは万有引力と同じ形をもつので,古典的に考えれば,地球が 17Z/2 ( exp(-) 太陽のまわりを回るように電子は核のまわりを楕円軌道を描いて回ると考え 『(r) = たくなる。しかしながら,このような極微の世界まで古典ニュートン力学が ただし,ここで そのまま成立するわけではない,電子の振舞を正しく理解することは,今世 4TEh An = mee? =0.529 A 紀初頭登場した量子力学をもってはじめて可能となった。量子力学によると, 電子の存在確率は波動関数 『(r)の絶対値の2乗に比例する。定常状態では 『(r)は次のシュレーディンガー方程式を満たすというのが量子力学の骨子 はボーア半径とよばれる。 である。 H V (r) = ET (r) ここで はハミルトニアンで,電子の運動エネルギーとポテンシャルエネ ルギーの和であり, 1 p°+ V(r) 2m。 H = の形をもつ。** 第2項のポテンシャル項は方向によらず,核からの距離のみ に依存するので,全体を極座標を用いて表した方が都合がよい。このとき, 第1項の運動エネルギーの部分は Eo = 8.8542 × 10-12 F/m は真空の誘電率。 m。は電子の質量,p= - iAVは運動量オペレータである。ただし,▽はナプラと読 み,直交座標系では 定,立,えを直交する単位ペクトルとして、V= -+ の形をもつ微分演算子である。カ = h= 6.626× 10-4JSはプランク定数。

印のついているところでどの式に7k−4を代入しているのでしょうか？ よろしくお願いします

OOOO0 524 別解 4 {an}: {b}: 重要例題93 2つの等差数列の共通頂 よって 基本 85 重要100 の一般項を求めよ。 その一 (公差)=(n の係数) 補定 On=2+7(n-1)であるから. 数列{b.}の初項は 2, 公差は7 である。 具体的に項を書き出してみると 指針> an=1+4(nー1) であるから、 数列 {an}の初項は 1, 公差は4, +4は7回 +4 +4 +4+4 +4 +4 +4 tan}:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 37, 30, 51, 58, 65, 44, {bn}: 2, 9, 16, 23, +7 +7 +7 +7 +7は4回 よって {ca}:9, 37, 65, … となり, これは初項9, 公差 28の等差数列である。 公差4,7の最小公倍数 このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからない (相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率である。そこで,1次不定方程式(数学 A)の解を求める方針で解いてみよう。 共通に含まれる数が, 数列 {an} の第1項, 数列{bn}の第 m項であるとすると よって,1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 4/-7m=-2 の整数解であるから,まず この不定方程式を解く。 … 解として,例えば, 1=(kの式)が得られたら, これをa=4l-3のlに代入すればよい。 ただし,kの値の範囲に注意が必要である(右ページの検討参照)。 a=bm 解答 4/-3=7m-5 4/-7m=-2 1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから 4(1+4)-7(m+2)=0 4(7+4)=7(m+2) 4と7は互いに素であるから, kを整数として a=bm とすると よって =3, m=2 とした場合は 検討参照。 ゆえに 1+4=7k, m+2=4k すなわち ここで,1, mは自然数であるから,7k-421かつ 4k-221 より,&は自然数である。 よって,数列 (c}の第ん項は, 数列 {an} の第1項すなわち第 (7k-4)項であり 1=7k-4, m=D4k-2 と表される。 くたはん2号かつたとを 満たす整数であるから, 自 然数である。 4(7k-4)-3=28k-19 求める一般項は, kをnにおき換えて (数列(b}の第 m頂すなわ ち第(4k-2)項としてもよ C,=28n-19 い。

どうやって考えれば最初から28n-19になるか教えてほしいです！ お願いします🙇‍♀️

OO000 重要 例題93 2つの等差数列の共通頂 等差数列{an}, {bn} の一般項がそれぞれ an=4n-3, bn=7n-5であるとき、。 の2つの数列に共通に含まれる数を,小さい方から順に並べてできる数列c の一般項を求めよ。 基本 85 重要100、

zに対する変分δI₁の出し方がわかりません、教えてください

2 一般相対性理論 i番目(i=1, 2, ……, N) の質点の座標を z"(ri) あるいは略して z(i), 固有時を T () は dz"(ri)ldriを表わす。 また g() とは gpola(i)) のことである。このI さて(2.43) の 2(i) に対する変分を計算してみよう.ここでながi番目の粒 となる。したがって Isは, 任意の座標変換に対してその値が不変, つまりス またその質量をmi とすると, この物理系の全作用積分Iはつぎのようになる: 27 ここでムは Iム=-2mcv-gm()P()E(Hdru (2.43) は次のようにかくこともできる: I、= -2mc||v-g()を()ぜ(みのー2(i)dzid"a. (2.43)) 1 Iはつぎの量である: =1 Jadu 1 1 I,= - 2cK. -g·Rd*a. (2.44) ミ 2cK, 一般にテンソルにV-gのかかった量をテンソル密度とよび, それをもとの テンソルと区別するために花文字で表わすことにする。特に上にでてきたRの ように,スカラーRにV-gのかかった量をスカラー密度とよぶ。 座標変換 →'に対してスカラーは R(x) = R'(x') であるが,スカラー密度は, V-gという量がついているために R(r) = R(®,.) (2.45) あるいは簡単に al2) という関係をみたす。 (2.45) から (e co)5 (2.45) R(x^)d*a' = R(2)d*x = スカラー カラーである。 子の固有時であることに留意すると

黄色マーカー部分が何を表しているのか分かりません 教えてください！

第2問~第4問は, いずれか2問を選択し, 解答しなさい。 第2問(選択問題) (配点 20) (1) 等差数列 {an} について考える。 第5項を9とすると, 第3項から第7項までの 和は「アイ となる。この条件だけでは等差数列 {an} の一般項が定まらないので、 初項から第8項までの和を 64としたところ, 数列 {an} の初項は ウ で,公差 は エ となった。 (2) (1)の数列 {an} を める。 a1, a2|as, a4, as, A6| a7, as, ag, a10, のように, 2個, 2°個, 2°個, ·と群に分け, k番目の群には 2* 個の数が含まれ るようにする。例えば a1oは第3群の4番目の数である。 このとき,第8群の最初の数は数列 {an} の第 オカキ項である。 ) 水(数学II·数学B第2問は次ページに続く。)

なぜ同じ整数で表すことができるのですか？

C=5 50300-そbn=5+4(n-1) 練習 等差数列(an), {bn} の一般項がそれぞれ an=3n-1, b,=4n+1であるとき, この2つの数列に 93 共通に含まれる数を,小さい方から順に並べてできる数列 {ca} の一般項を求めよ。 数学B- 397 ai=bm とすると 37-1=4m+1 よって 37-4m=2 の 1=-2, m=2は① の整数解の1つであるから 3(1+2)-4(m+2)=0 までのれをS 3(7+2)=4(m+2) 3と4は互いに素であるから, kを整数として、る そ1=2, m=1とした場 合は,最後でkをn-1 におき換えることになる (本冊 p.525 参照)。 3章 とする 1036 030 ゆえに 1+2=4k, m+2=3k 38す人外 5つ 列 すなわち 1-4k-2, m=3k-2と表される。03+)(-) ここで,1, mは自然数であるから, 4k-221かつ 3k-221よ←kはk2 り,kは自然数である。 よって,数列{cn} の第え項は,数列 {an}の第1項すなわち第自然数である。 (4k-2)項であり 求める一般項は,kをnにおき換えて 別解 3と4の最小公倍数は {an}:2, 5, 8, 11, 14, ……であり, {bn}:5,9, 13, であるから よって, 数列{cn} は初項5,公差12の等差数列であるから、 その一般項は -かつえ21 るさ = を満たす整数であるから, 3(4k-2)-1=12k-7 ト=dS--数列{bn} の第 m項す C,=12n-7 等でなわち第(3k-2)項とし てもよい。 dy そan=2+3(n-1) 12 78 S民 D do le の 40= 78-16-(9+日)1- ら 代増因J収扱 の一般項 an を求めよ。また, 第10項を求めよ。 る釜比教列の一般項を求めよ。ただし,公比は実数とす C,=5+(n-1)·12=12n-7 210 L 山 2 [額

（2）の解答で、なぜn=k+1とおくのか教えてください！

例題251 2つの等差数列の共 →例題IA242 初項1, 公差2の等差数列 {an} と初項 1, 公差3の等差数列 {b,}がある (1) 数列 {a,} と {bm} の一般項をそれぞれ求めよ。 (2) 数列 {an}と {bn} に共通に含まれる項を小さい方から順に並べてできz 数列 {c}の一般項を求めよ。 Action 等差数列{a.), {6.)の共通項は、 a, = bm として不定方程式を解け 1(1)は,等差数列の一般項の公式に当てはめる。 2|(2)は, a, = bm として!とmの不定方程式をつくる。 3|2の方程式を解き, Cn の一般項を求める。 解法の手順……… 解答 an =1+(n-1)·2=D 2n-1 bn =1+ (n-1).3= 3n-2 (2) {an} の第1項と {bn} の第m項が等しいとすると, 2(1-1) = 3(m-1) 1, m は自然数で, 2 と 3は互いに素であるから, 1-1 は3 (1) {am}の一般項は {b»}の一般項は 4a, = bm 21-1= 3m-2 より 421-1=3m-2 すなわち 21- 3m = -1 を満たす 整数の組1=1, m=1 を 利用して変形する。 の倍数である。 よって,1-1= 3k (kは整数)とおくと これをDに代入して整理すると 121, m21 より, kは0以上の整数である。 ゆえに,{an} と {bn} に共通に含まれる項は dsk+1 = 2(3k+1)-13 6k+1 (k= 0, 1, 2, …) ここで, n=k+1 とおくと n= 1, 2, 3, · … k=n-1 より Cn = 6k+1=D6(n-1)+1= 6n-5 1 = 3k+1 m= 2k+1 |3k+121より k20 12k+121 より k20 となり, 4日nとkの対応は,不定 方程式のを解くときに 用いた整数1, mの組に よって変わる。