2 問題
自然数nに対して,nに最も近い奇数をaとする。 ただし, 2つ存在するときは,小さい
方を an とする。 このとき, 次の各問いに答えよ。
(1) 20 を求めよ。
(2)m
200
(3) Σan を求めよ。
n=1
を自然数とするとき, a=2m-1となるnは何個あるか。
着眼点
数列の応用問題で,群数列の考え方,すなわちいくつかの項をまとめて処理する考え方を用いる
もの｡
(1)√20に最も近い奇数を求めればよい。
(2)
ば,n=4のときに最も近い奇数は1,3の2つであるが
a4 = 1
である。このことに注意して
(2つあるときは小さい方)が2m-1となるための条件を考える。たとえ
に最も近い奇数
O≦√<△ または ○<√≦△ のどちらなのか
および、○や△にはどんな数が入るかを考えればよい。
を捉えよう。
(3) (2)より{an}は1,3,5, …などの奇数がそれぞれ複数個現れる構造になっている。 そこで,値
が同じ項を1つの群として群数列の見方をすればよく、 まず
200 は第何群の何番目の項か
解答
UTA
(1) 20 は √20に最も近い奇数である。ここで
4<√√20<5_1=) (4} 4 (1>#$x**SOL
であるから
a20= 5
答
(2)に最も近い奇数 (2つあるときは小さい方)が2m-1のとき,
nは
(2m-1)-1<n≦ (2m-1)+1
∴.2m-2<n≦2m
をみたす。 各辺は負ではないので2乗
すると
4(m-1)<n≦4m²... ①
よって,a=2m-1となるnは
2m-32m-12m+1
2m-2 2m
4m²-4(m-1)²8m-4 (個)
答
(3) (2)より、数列{an}の項で値が等しいものを
YME5J1-Z1C2-01
1, 1, 1, 1 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
3 | 5, 5,
(381
:
<<x<5のときに最も
近い奇数は5である。
n=2m-2の
an = 2m-3
m=2mのとき
an=2m-1
より 等号がどちらにつくか
に注意する。
数列{an} を群に分けて考え
るのがポイント。
