90 不定方程式 ax+by=c の解
[xyを整数とする.
方程式 2x-3y=7…. ① について,次の問いに答えよ.
(1) ① をみたす (x, y) の1組をみつけよ
(21) (x,y) を (α, β) とするとき, 2a-3β=7.② が成り
たつ.
①,②を利用して, x-αは3の倍数で,y-β は2の倍数で
あることを示せ .
(B) ① をみたす (x, y) をすべて求めよ.
(4) ① をみたす (x,y) に対して, x-y' の最小値とそのときの
x、yの値を求めよ.
ax+by=c(a,b,cは整数aとbは互いに素) をみたす (x,y)
精講
を求めるとき,この (1)~(3)の手順に従います.
(1) 未知数2つ, 式1つですから, (x,y) は1つに決まりません。
たくさんあるということです. その中から,何でもいいから1組決めよとい
うこと.
(2) x-aやy-β をつくるためには, ①-② をつくるしかありません。
(3) x-αは3の倍数だから, x-a=3n (n: 整数) とおけます。
もちろん, (a, B)は(1) で決めた値です.
(4) (3),x,yを1変数nで表しているので, x2-y^ もnで表せます.
解答
7 (1) x=2,y=-1 とすると,
この2x-3y=2・2-3・(-1)=7
よって, ① をみたす (x,y) の1組は (2,-1)
注 このほかにも(x,y)=(5,1),(-1,-3) などがあります.
2x-3y=7 ......①
(2)
2a-38=7 .....2
①-②より, 2(x-α)=3(y-B)
