高2の数学、式と証明の問題なのですが 答案集を見てみても理解できません。 問題9の部分です。 解答解説お願いします🥲

9 11 13 次の等式を証明せよ。 (1) x2+ x ² + 1 = = ( x + 1) ² - 2 x2 10 a+b+c=0 のとき, 次の等式を証明せよ。 a2+b2+c²+2(ab+bc+ca)=0 14 15 b 問題 ma+nc a mb+nd b のとき,次の等式を証明せよ。 第2節 等式・不等式の証明 = (2) x1+1/12-(x+1/22-3(x+1/24) =√x+ 12 a<b,x<y のとき, ax+by と bx+ay の大小を, 不等号を用いて 表せ。 p.33 (2) x>2のとき, x+ きのxの値を求めよ。 1 x-2 ときのxの値を求めよ。 39 (2) √abz (a +26) (¹ + ²) 29 p.28 a> 0, b>0のとき、次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つ ときを調べよ。 → p.3! (1) √2(a+b) ≥√√√a+√b 2ab a+b xC → p.29 → p.30 a> 0, b>0のとき,次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立 → p ときを調べよ。 次の問いに答えよ。 9 (1) x>0 のとき, x+-の最小値を求めよ。 また, 最小値をと の最小値を求めよ。 また, 最小値を

この問題の赤線引いてあるところってどういうことをしているんですか？

1 (1) x>0のとき、不等式2/23(x+2/2/27) 221 ≧23を示せ。 また等号が成り立つのはどのようなときか. (n=1, 2,3,...) で定める. (2) 数列{an} を, a1=2, an+1= (₁ 2 ant 3 1 (i) n ≧1 のとき, an> an+1>2を示せ. (i) n ≧2のとき, an+1- <²/3 2 2 an *+113502 また, an-an+1=an 3 2 よって, an> amt12/3/3 13-151 2.1 2 \n-1 (i) n≧1のとき, O<an+1- ( 12/3 ) 11 を示せ. 2 【 an an (2) (i) >2才と (1)より、帰納的に+1 2 2,2) 2 an+1 <kan k>0, an>0のとき, an+1 <kan をくり返し用いて, an<kn-la」 を導くことができる. 不等式の証明 A>Bを示すには, A-B>0を示すことを目標にするのが基本方針. 4 508- ■解答言 1 (1) 与式の分母を払い, 2x3-3.23x2+2≧0. これを示せばよい. 左辺を因数分解して, (x-21 ) 2 (2+2号) x>0のとき, ①≧0 (等号はx=23) であるから示された. 11th you! an-1 を示せ. 1 an3-2 -³ (a + = =) = ²2-2² >0 (²:4>2²) an>23) 2 an 3an² 1 2 + ²/² (a₁ + - 1²/27) > 2 ³ an 別 (金沢大・文系) 11 ・①t=23 とおくと, 2_212)^2/(cm-22 an *)$ 2x3-3tx2+3=(x-t) (21 AGO)(O) 3 よって, an>2/3/ (n≧1)が つ これを帰納法で示すと 0<an <an-1より,

マーカーを引いたところの計算が分かりません！どこからなにを持ってきているのか示して欲しいです🙇🏻‍♀️

24 数と式を中心にして 10 不等式の証明 [1] (1)a>0,b>0のとき, 不等式(a+b)(a3+b^3)≧(α2+62)2 が成り立つ ことを示せ . (2)a>0,b>0,c>0のとき, (1) の不等式を利用して, 不等式 (a+b+c)(a+b+c)=(2+2+2)2が成り立つことを示せ。 [2] a,b,c を実数とする. (1) 不等式 3(a²+b2+c^2)≧ (a+b+c)2 を証明せよ . (2) 不等式 27 (a+b+c)=(a+b+c)^ を証明せよ. (解答) [1](1) (a+b)(a³+b³)— (a²+b²)² = (aª+ab³+a³b+b¹) — (aª+2a²b²+b¹) (2) まず, (大)(小)を 設定する [2] (1) したがって, が成り立つ. =a³b+ab³-2a²b² =ab(a²+62-2ab) =ab(a-b)20 (a+b+c)(a+b+c²)-(a²+62+c2)2 ={(a+b)+c}{(a3+b3)+c3}-{(a²+62)+c2}2 (a+b) (a³+b³) ≥(a²+b²) ² したがって が成り立つ. =ca(c-a)2+cb(c-b)2≧0 =(a+b) (a³ + b³)+(a+b)c³+(a³+b³)c+c¹-(a²+6²) ²-2(a²+b²) c²-c² ≥(a²+b²)²+(a+b)c³+(a³ + b³) c+c¹-(a²+6²) ²-2(a²+b²) c²-c² 3(a²+62+c2)-(a+b+c)2 =(a+b)c3+(a3+b3c-2(a²+62)c2 =c{(a+b)^2+(a3+b3)-2(a²+62)c} =cla(c2+a²-2ac)+b(c2+b2-2bc)} a>0, b>0, c>0 V, ca>0, (c-a)² ≥0, cb>0, (c-b)≧0, a>0, b>0 £, である (a+b+c) (a³ + b³ + c³) ≥(a²+b²+c²) ² =2a²+262+2c²-2ab-2bc-2ca (青山学院大/学習院大) であるから, =(a−b)²+(b-c)²+(c-a)² ≥0 したがって, まず, (大) (小) を設定する =3(a²+b²+c²)-(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca) ab> 0, (a-b)2≧0 3(a2+b2+c^2)≧(a+b+c)² =(a²-2ab+b2)+(b²-2bc+c^²)+(c²-2ca+α² ) ab(a-b) 20 まず, (大) (小) を設定する この変形が大切である

なぜ解答の11行目の赤波線から12行目の赤波線になるんですか？

考え方 解 [Check 例題 300 数学的帰納法 (2) 不等式の証明 (nt nが2以上の自然数のとき, 1+2+3+. 1 ((-)| 22 立つことを数学的帰納法で証明せよ. 1 1 1 + 2/2+3/1++ / < 2 - 1+ <2-² n 2² (I) n=2のとき, 2以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい. (I) n=2のとき, 不等式が成り立つことを示す。また合() (II)n=k(≧2) のとき, 不等式が成り立つと仮定し, これを用いて,n=k+1 の ときも成り立つことを示す. 33 (433 > ...…. ① 5 (左辺=1+1/23/12 (右)=2-12-27 3 2² 4 N より 左辺) (右辺) となり, n=2のとき①は成り立つ. このときの成り (II)n=k(≧2) のとき① が成り立つと仮定すると, (*)・・・・・ 1+2/2+3/2/2 +･････.+ (*) 3² n=k+1 のとき, 2² が成り立つことを示せばよい。 (右辺) (左辺) di="er 1 =2- alter='s (1-2 1+1/2/2+1/2++ /1/12 + (+1) = <2- ·+·· 3² k² >2- 1/22<2 - 1/2 k k+1 1 k+1 3 漸化式と数学的帰納法 ** 1 1 22 3² 1+ + +･･････+ 171232<2-- n² (born), d=a とおく と (1-) + C1=70,530 I=R (-)+¹0=0.30 S- 21450 ·+······+· 1 + k² (k+1)² 1 n ...(*)*** k (k+1)²] =^(r= }= qer}= $30 17d=5 ->0 ¯k(k+1)² したがって (右辺) - (左辺)>0となり,n=k+1 のとき も成り立つ. が成り k+1+ +*@[=>] る. 50 1+s=N₁.816 (I), (II)より2以上のすべての自然数nについて, ① は成り 立つ. Focus (5 bom) JEROE (n+1)-(4+1) は2以上の自然数 何を示すかを明記す (右辺) (左辺) > 0 を示せばよい. 533 (*) の仮定を利用す るが,不等号の向き に注意する. く ならば, -A んは2以上の自然数 だから, k(k+1)^>0 よって, k(k+1)² >0 数学的帰納法の証明 "S" ([-)+"(S-) = 何が仮定で (スタート), 何を示すべきか (ゴール) を明確に 注 例題 300 や練習 300のように, n=1 から始まらず、最初の数がn=2 やn=4な

等号が成り立つときで3a=2のままではバツになりますか？ また、2a=bなどの場合もa=b/2と直したほうが良いですか？

399a > 0, 40 であるから,相加平 均と相乗平均の関係より 9a+ ² + 4 ≥2√/9a. 4 = 等号が成り立つのは, 9a= 告のと a きである。 このとき a² よって a = = =± a = 4 9 2-3 12 a = ² 3 a> 0 であるから したがって、 等号が成り立つのは 10/03 のときである。 L

授業中にやった例題なのですが、ピンクの付箋部分がどういう流れでこうなったのか全く思い出せません。わかる方いますか？

5 C 数学的帰納法による不等式の証明 応用 例題 7 は3以上の自然数とする。 不等式2" > 2n+1 を 数学的帰納 法によって証明せよ。 解説n3であるから、 次のことを示せばよい。 [1] n=3のとき, 不等式が成り立つ。 [2] k≧3として,n=kのとき不等式が成り立つと仮定すると, n=k+1のときにも不等式が成り立つ。 第1章 数列

(2)で等式が成り立つときはx=2y=0も答えのx=y=0も 変わらないと思うのですがダメなのでしょうか？

106 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのよう なときか。 (1)* x² + y² + 2x - 4y+5 ≥ 0 Q = 2 16² +2x +y ² -44 +5 2 (₂21 + 1) ² - + (y₁ −2)² - 4 + 5 = (x + 1)² + (y-2) ² Á (2) x² +5y² ≥ 4xy F (720) - (1522) = 7(² +54²74x4 =x²-4x²4 +54² 2 = x ² - 4 xy +44 ²4y? = (1-2y)² + y² (271)²20, (y-2)² 20 2 LIZA""; 1 x ² + √² +2x 4y+$ 30 x = 1₁ 等号が成り立つ Date 7= 21" (x-24) ²20, 4²20 ? (tar'; ? x² +5Y² = 4x4 x-2y 20 4=27 等号が成り立 y = 0 -> * = *y=0 762430

解き方を教えてください。

a > 1,6> 1 のとき、次の不等式を証明せよ。 不等式の証明 [1 FT ab+1 > a +6 675 54658

n=4とn=kで場合分けしているのはなぜですか？ また、[2]でk≧4とありますが、K=4は[1]で求めるのでk＞4だと思うのですが、違いますか？ 解説お願いします‼️

Link 5 10 15 20 C 不等式の証明する命題 nを4以上の自然数とするとき, 次の不等式を証明せよ。 2">3n An 応用 例題 6 考え方 n ≧4 であるから,次のことを示す。 [1] n=4 のとき, 不等式が成り立つ。 [2] k 4 として,n=kのときの不等式 23k が成り立つと仮定 すると, 不等式 213(k+1) が成り立つ。 証明 この不等式を (A) とする。 [1] n=4 のとき 46 左辺=24=16, 右辺 = 3･4 = 12 よって, n=4 のとき, (A) が成り立つ。 [2] k≧4 として,n=kのとき (A) が成り立つ,すなわち 2k > 3k が成り立つと仮定する。 n=k+1 のときの(A) の両辺の差を考えると 2k+1-3(k+1)=2.2- (3k+3) >2.3k-(3k+3) =3(k-1) > 0 ** [S] 2k+1 > 3(k+1) = 23k より k≧4 より k-1>0 すなわち よって,n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, 4以上のすべての自然数nについて (A)が成り 立つ。

例題１２番と応用例題の3番のマーカーで引いてある部分がわかりません。 解説して頂けませんでしょうか？

例題 12 証明 a²_ab+b² = {a²_²a• b 練習 28 応用 例題 3 A GOU 証明 不等式 a²−ab+b2≧0を証明せよ。 また, 等号が成り立つの はどのようなときか。 ³= {a ² - 2a · 1/2 + ( ²/2 ) ²} - ( ²2 ) ² + 6² 5 62 ≥0, 6\2 = (a = 1/2 ) ²³ 3 + -62 4 3-6²2 -62≧0であるから (a - b) ² = 2 ゆえに 等号が成り立つのは すなわち, a=b=0のときである。 a²-ab+b² ≥0 2 (a − b )² + 3 / 6²³²0 -62≧0 a- - 1/2=0かつb=0 次の不等式を証明せよ。 また,等号が成り立つのはどのようなときか。 (1) a²+ab+b2≧0 (2) (a²+6²) (x²+y²)≥(ax+by)² 不等式 a²+b2+c≧ab+bc+ca を証明せよ。 また,等号が成 り立つのはどのようなときか。 a²+b²+c²-(ab+bc+ca) ½(a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²_2ca+a²) = {(a−b)²+(b—c)²+(c-a)²} ≥0 ゆえに a²+b²+c²≥ab+bc+ca 等号が成り立つのは a-b=0 かつ 6-c = 0 かつ c-a=0 すなわち,a=b=cのときである。