この解説の（－X^k）のところはなんでマイナスがついているんですか？？解説お願いしますm(_ _)m

よって、n=1のとき, ① が成り立つ。 [2] n=kのとき ① が成り立つ, すなわち f(x)=(-1)^(k-1)! が成り立つと仮定すると,n=k+1のとき 左辺=f(k+1)(x)= = - f(k) (x) = d dx ((. xk dx - 1) k- k-1 (k-1)! xk d =(-1)^(k-1)!.. -(x =*) dx =(-1)^²-4-1)-(-)-(-14 = ( − 1)* — ¹(k − 1)! • (- k k+1 x r lex k-1 (-1)+_k! よって,n=k+1のときも ① が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① が 成り立つ｡

数学数列　 画像の四角で囲ったところのように変形するのはありですか？無しであればその理由を教えてください。

「つ」 306 308 数学的帰納法 〔3〕 ... 不等式の証明(2) 4以上の整数とするとき, 数学的帰納法を用いて次の不等式を証明せよ。 2" <n! 自然数nについての等式、不等式の証明は数学的帰納法を考える。 味の言い換え [1] n=4のときに ① が成り立つことを示す。 ( ① の左辺) (①の右辺) [2] 「n=kのときに ① が成り立つと仮定すると, n=k+1 のときにも ① が成り立つ」 ことを示す。 n=kのときの不等式 2 < h! が成り立つと仮定。 ⇒n=k+1のとき n=4 をそれぞれに代入して (左辺) (右辺) を示す。 (k+1)! -2k+1 = (k+1)k!-2k+1 > (k+1)-2+1 = ... > 0 仮定の利用 <<Action 数学的帰納法では,n=k+1 のときの式の複雑な部分に仮定の式を用いよ [1] n=4のとき (左辺) = 24 = 16, (右辺)=4!= 24 左辺) (右辺)であり, ① はn=4のとき成り立つ。 [2] n=k(k≧4) のとき, ① が成り立つと仮定すると 2<k! n=k+1 のとき (右辺) (左辺) (k+1)! - 2k+1 = = (k+ 1)k! - 2k+1 > (k+1)22k +1 =2^{(k+1)-2} k≧4であるから nは4以上の整数である。 =2(k-1) 2^(k-1)>0 2k+1 < (k+1)! よって ゆえに, ① は n =k+1 のときも成り立つ。 [1],[2] より,4以上のすべての整数nに対して成 り立つ。 4以上の整数について命 題が成り立つことを証明 する場合は,まず [1] と してn=4のとき成り 立つことを示す。 特訓 2 例題 306 (右辺) (左辺) > 0 を示 す。 仮定した不等式を用いる ためにk! をつくる｡ (k+₁) £! - (2² > (E11) 21-1-2 (7-1) £! 308nが4以上の整数とするとき, 次の不等式を証明せよ。 3n > n³ ... 1 6章 化式と数学的帰納法 条件 k≧4 を忘れないよ うにする｡ 18 (宇都宮大) p.519 問題308 509

この問題がよく分かりません。もし分かる方がいたら教えて下さると助かります。よろしくお願いします

練習6nが4以上の自然数のとき, 次の不等式が成り立つことを,数学的 帰納法を用いて証明せよ。 2">4n-1

帰納法のことはわかりますが、それをどうやって隣接互換の積の証明に使用したらいいかが分かりません。

問題 2. 任意の互換 o = (ij) ∈ S (但し,i,j∈Xn, i < j とする) は, 隣接互換の積として 表すことができることを証明せよ。 即ち o = (i i + 1) · (i + 1 i + 2)... (j − 2 j − 1) · (j − 1 j) · (j − 2 j− 1). (i+1 i+2). (i i + 1) が成り立つことを証明せよ (Hint:j-i>1に関する数学的帰納法を用いる)。

至急‼︎この問題を合同式を利用して解く方法を教えてください。

y=0 5x+35k 26xとyを0以上の整数とし, 5x+7y を考える。 (1)kを0以上の整数とする。 y=5k のとき, 5x+7yは5で割り切れる①以上の整数をす べて表せる。 同様に考えると, y=5k+1 のとき, 5x+7y は y=5k+3 のとき, 5x+7yは ア ~* はまる最も適切な数値を答えよ。 Do (2 O 5で割ると1余る整数のうち2 ① 5で割ると2余る整数のうち 5 で割ると3余る整数のうち 3 5で割ると4余る整数のうち に当てはまるものを次の①~③から1つずつ選び 整数の性質 y=5k+2のとき, 5x+7y は 9. 5x+7yは y=5k+4のとき, 以上のものはすべて表せる。 以上のものはすべて表せる。 以上のものはすべて表せる。 4以上のものはすべて表せる。 43 に当て 調へ

数学的帰納法で割り切れることを証明する問題です。 ［2］のところにある等式の変形の仕方がわかりません！教えてください🙇‍♀️

247 指針 (1) 段階 [2] で, 5+1+62-1=31mを 仮定して 5 (k+1)+1 +62(k+1)-131m' を導く。 「5"+1 +62n-1は31で割り切れる」を (A) とす る。 [1] n=1のとき (1) 5n+1+62n-1=52+6=31 348 よって,n=1のとき, (A)は成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つ,すなわち 5k+1 +62k-1は31で割り切れると仮定すると, ある整数mを用いて次のように表される。 5k+1+62k-1=31m n=k+1のときを考えると 5(k+1)+1 +62(k+1)-1 =5.5k+1 +36.62k-1 =5(5k+1 +62k-1)+31.62k-1 =5.31m+31.62k-1 =31(5m+62k-1) 2 18+8A=5A 5m+62k-1は整数であるから, 5(k+1)+1+62(k+1)-1は31で割り切れる。 よって,n=k+1 のときにも(A)は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて (A) は 成り立つ｡ 割り切れる」を (A)とす

情報理論の数学です。どなたかこれを帰納法で示す方法をおしえてください！

命題 1.4 P1,P2,..., Pn が n ΣPi = 1, (Pi≥0) i=1 であり,各 pi がさらに mi (2) 個の非負な数 { ij } i = 1,2...... miに細分さ れていたとする. すなわち, mi Pi=dij, (i=1,2,...,n) j=1 このとき H(911,..., 91m₁, 921,..., 92m2,..., In1,..., Inmn) n = H (P1, P2,..., Pn) + piH qimi Pil P.H (21) Pi Pi i=1 が成り立つ. .."

数B数列の数学的帰納法で出てきた不等式です なぜこうなるのでしょうか… 教えて頂きたいです

右辺=k+1 ここで, 2k+1 k+1 1+ ... すなわち, 1 2 1+1/12/2+.. 2 (k+1) k+2 = k+1 k+1 k = (k+1)(k+2) >0 ここか 1 2k+1 2(k+1) + N k+1 k+1 k+2 42 1 2(k+1) K M k+1 k+2 を代入したものである。 n=k+1 + これは、② よって,n=k+1 でも②は成立する。

数Bの数学的帰納法の証明の問題です。

1 nは自然数とする。 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ。 1 3 + 2.5 +3・+ ...... +㎖(2n+1)==n(n+1)(4n+5) 6 =/m

（3）の1/2-an+1=のとこってどうやったらそう言う発想が思いつくのでしょうか？経験でしょうか？これがあるから。とかコツとかあったら教えてください。

[an+1 2 を示せ. 徳島大 2an (1-an) のとき, 0 < an ≦ (3) 0 < α₁ ≤ 1⁄2, an+1 = An ≤ 1/1/21 an ≦ an+1 を示し lim an = =1/12 を示せ。 n→∞ 〔三重大〕 《方針》次の原則(例外はあります) 漸化式で定義された数列の一般項についての証明 帰納法 に従います。 以下ではいちいち明記しませんが, 帰納法を何度も用いていま す。 また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです｡ 《解答》(1) x1 > √a と xn2+a-2√axn (xn - √a)² 2xn ......... ( Xn+1- -√a= 2.xn から xn> √a ⇒Xn+1> √a がいえるので,帰納法で x> <a (n = 1, 2, …..) がいえる。次に③から 1 Xn-√a Xn+1 - √a = = (xn - √a) 2 であり,ここで Xn-√a 0 < =1- ≤1 Xn だから √a xnk (3) y=2x(1-x)=-2(x-1/2) 2+ /1/2について, 0 < x≤ 1/2 ⇒0<y≤ 1/1/ である. ここでx=an とおくと y = an+1 となるので 0 < an ≤ ½ ⇒ 0 < an+1 ≤ がいえる。これと0<a≦1/2をあわせて 0 < an ≤ ½ (n = 1, 2, ...) 2 が成り立つ。また漸化式から Has (0<a, ≤ 1/29) an an+1 - an = an (1-2an) ≧0 だから an+1≧ an がいえる. さらに漸化式から an+1= 1/201 -(1 − 4an + 4an²) 2 = = 1/(1 – 2an)² = (1 - 2an) - 2an) ( 1⁄2 — an) < (1-2a₁) (-a) (an ≧ aより) BAKOS 1/1/20 an+1≦(1-241) (1212-an) であり,これをくり返し用い ると n-1 0 ≤ ½- an ≤ (1 - 2a₁)¹-¹ (-½ − a₁) となり、0<a≦1/23より0≦1-24 <1だから右辺はn→∞ のとき 0 に収束するので, はさみうちの原理より lim an = 1 2 U n→∞ CHOCO 27-4-20