付箋の貼ってある「ここで」のところから 何のために何をやっているのか分かりません。

〒327 nを自然数とするとき, 次の不等式を数学的帰納法によって証明せよ。 + 1 1 + 1.2 3.4 5.6 + + 1 3 1 ・ (2n-1) 2n 4 An [10 東北学院大〕 っている。

解答の(ⅱ)の8行目に出てきた3(k+1)/[(k+1)+2] についてです。この式を持ち出す理由を考えてみましたが、実際のところどうなのでしょうか。 (理由) (ⅱ)の5行目〜6行目にある不等式の右辺ではk+2をkやk+1で表したいため、右辺よりも同じか小さい値の式を ... 続きを読む

★ A 6 nを自然数とするとき,次の不等式を数学的帰 納法により証明せよ。 (1)/1/3+/1/2+1/+ + 3n ≥ n n+2

a_(n+1)の式をnだけで表せるのかを考えてみたのが2枚目です。これはnだけの式になくたと言えるのでしょうか。 また解答(三枚目)はn=k+4のときから考えていますが、どのようにしてk+4から考えると分かるのでしょうか。

A 4 nが4の倍数でない自然数のとき, 1" + 2" + 3" +4 は10の倍数であることを, n=kのと きを仮定して, n=k+4で成立することを示すことによ り,数学的帰納法で証明せよ。

丸で囲ってある部分はなぜいるのでしょうか？

500 基本 56 整数の性質の証明 すべての自然数nについて 2+3+2は13の倍数であることを証明せよ。 基本 55 重要 59 指針 このような自然数nに関する命題では、数学的帰納法が有効である。 OURESCH n=kの仮定n=k+1の証明の過程においては, Nの倍数 N=0mm は整数) を利用して進めることがカギとなる。 すなわち 42k+1+3k+2=13m (m は整数) とおいて n=kの仮定 48(k+1+1+3(+1)+2が13×(整数)の形に表されることを示す。n=k+1の証明 このように、数学的帰納法の問題では,n=k+1の場合に示すべきものをはっきり ★ことが大切である。 かんでおく 「42+1+3+2は13の倍数である」を ① とする。 解答 [1] n=1のとき 42・1+1+31+2=64+27=91=13・7 よって, ① は成り立つ。 [2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると 42k+1+3k+2=13m (m は整数) ... ② とおける。 n=k+1のときを考えると,②から これから 42k+1=13m-3k+2 42(k+1)+1+3(k+1)+2=42.42k+1+3+3 =16(13m-3k+2)+3k+3 =13・16m-(16-3)・3k+2 =13(16m-3k+2) 16m-3k+2 は整数であるから, 42(k+1)+1+3(k+1)+2は13 指針_ の 仮定② が使えるよ 421 の形を作り出 とがカギ。 の断りを忘れ の倍数である。 I=(Y-3)i-L ( よって, n=k+ 1 のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 結論を書くこと。

数学的帰納法についての質問です。この単元の基本的な問題では、①n=1の時等式が成り立つことを示す、②n=kの時等式が成り立つと仮定し、n=k+1の時も成り立つことを示すという解法があると思います。この方法によって等式が証明できるということは理解できるのですが、写真にある63... 続きを読む

B1-112 (582) 第8章 数列 812 例題 B1.63n=k-1,k を仮定する数学的帰納法 1 x=t+1 とし,P,="+ t t" のn次の多項式で表されることを示せ. とおく(n=1, 2,... このとき, P.は、 **** 812 例題 BI 解答 考え方 自然数nに関する証明については,数学的帰納法を用いる。まずはオーソドック 考えてみよう. 1 (証明)(I) n=1のとき,P,=t+==xより成り立つ。 1 =(xk次の多項式) (Ink のとき,Pi=+1=(xの n=k+1 のとき,Pk+1=十 と仮定すると, Pa =" + p = (++) (+)-(p+++) =xPk-P-1 ここで,Pa= (xのk次の多項式) と仮定しているから,xPk は xの (+1) 次の多項 Pだけではなく, Ph- の次数についても仮定が必要になる.また, (II)で, n=k-1 ある。しかし、Pro」については、何次式なのかすの多項式なのかもわからない多 wwwwwwwwwwww とすると, n=1, 2, ...... であるから, k-1≧1 より k≧2 でなければならない。 1 (I) n=1のとき,Pi=t+==xより成り立つ 2 n=2のとき、P=f+1/2=(t+2=x-2より題意は成り立っ (II)n=k-1,k(k≧2) について、題意が成り立つと仮定する。 (Pk-1 は xの (k-1)次の多項式 数列{α を満たし [考え方] まず 証明 解答 (n≤ のた 3(a ① で a₁ = ① a₁= ① 7 ww a= し まり, と推 2 ② で表されると仮定すると、 (I) (Ⅱ) すなわち, [Phはxの次の多項式 1 tk+1 (+1)-(1+) (+) =xPk-P-1 ここで,xPk は x (x のん次の多項式)より xの (k+1) 次の多項式となり, P-1はx (k-1) 次の多項式であるから, Pk+1 は x の (k+1) 次の 多項式となる. Pk-1 は xの (k-1) 次の多項 式より, よって, n=k+1のときも題意は成り立つ。 (I), (II)より, すべての自然数nについて題意は成り 立つ. Pk+1 =(x +1)次の多項式 mim -(x (k-1)次の多職 注)(I)でP」がxの1次の多項式であることだけを示し、(I)の一般的な方法で,P.がsl 2次の多項式であることを示そうとすると, PoP, が必要となり困る。(Pは定 れていない) よって, (I)でP2 も調べておく必要がある. なお、下の練習 B1.63は, フィボナッチ数列の一般項に関する問題である. (p.1-84参 が 練習 B1.63 nを自然数とするとき, am=- **** を示せ. 1 √(532-1) = √(57+1) 練習 は整数であること B1.64 *** ➡p.Bl

写真の中にある紫ペンで囲った式の変形の覚え方を教えて欲しいです。語呂合わせでもダジャレでもなんでも結構です。全く覚えられなくて…。誰かお願いします！単元は数学的帰納法です。

考え方 自然数nに関する証明については, 考えてみよう. (証明)(1) n=1のとき,P,=t+1=xより成り立つ。 ーソドッ =kのとき、P=+1/2=xのを次の多項式)と仮定すると th +1 のとき, Ph+1=tk+1+ th+- th =xP-P- tk+1 Phだけではなく,P-1 の次数についても仮定が必要になる.また,(II) m ・・であるから, k-1≧1 より k≧2 でなければならない + ここで, Pa= (xk次の多項式) と仮定しているから,xPkはxの(k+1) 次 ある.しかし,P-1 については,何次式なのか、xの多項式なのかもわからない とすると, n=1, 2, 解答 (I) n=1のとき,Pi=t+==xより成り立つ. 1 t \2 1 n=2のとき,P2=tt1/12=t+ t (II)n=k-1,k(k≧2) について、題意が成り立つと仮定する. 2=x-2より題意は成り立 JPk-1 は xの (k-1) 次の多項式 すなわち, [Phはxの次の多項式 k tk+ Pk+1=t+1+ +1 1+1 = (1 + 1/1) (0 + 1 ) = ( 1^-1 + tk+1 =xP-P-1 で表されると仮定す tk th tk- 1 ここで,xPk は x(xのk次の多項式)より, 数列 + (I) (II)より すべての自然数nについて題意は成り 立つ. *)は成り立 よって、n=k+1のときも題意は成り立つ 次の多項式であるから, Pk+1 は xの (k+1) 次の 多項式となる. xの (k+1) 次の多項式となり、Pはxの(k-1) Pa (k- はxの 式より, Pk1 =(x (k+1) -xの(k- 注》 (I)でPがxの1次の多項式であることだけを示し, (II)の一般的な方法 2次の多項式であることを示そうとすると, Po, P, が必要となり困る。 れていない) よって,(I)でP2 も調べておく必要がある. なお,下の練習 B1.63は, フィボナッチ 千

ここの式はどうやってでてきたんですか？

A 91は自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 例題 22 (1) 1+5+9+...... + (4η-3)=n(2n-1) (2)1･3+2・5+3・7+…+ (2n+1)=1/13n(n+1)(4n+5)

数B　数学的帰納法 (2)番、わからないです💦 どなたかできる方教えてください

練習数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 41 (1) 1+3+5+......+(n-1)=n2 (2)1・2+2・3+3・4+…+n(n+1)=1/23n(n+1)(n+2)

数B、数学的帰納法です！n＝1のとき、答えを見ると、左辺は(n+1)に、右辺は2ⁿ・1にn＝1を代入していると考えました、なぜそこに代入するんですか？式の意味もよくわからないです。 また、矢印の分数部分の計算が分かりません、いきなり分数になった途中式的なものを知りたいです。... 続きを読む

(n+1)(n+2)(n+3). (2n)=2.1.3.5 (2n-1)

数B 帰納法 この式はどこから出てきましたか？

1. すべての自然数nに対して, 次の等式が成り立つことを, 数学的帰納法によっ 証明せよ。 1点 13 + 2.4 + 3.5+ ・・・・・・・・・ ·· +n(n+2) ==—=—n(n + 1)(2n+7) − (*) (i) h=1 art 左=1×(1+2)=3 × (1+1)x(2×(+7)=3 この中で h=k+1のとき t-13.24++) (+) (+) 1K(k)(k+7)+(り)(+3) より (ii) h=kalt (※)が立つまり 13+4+5+…+k(k+2=1/k(k+1)(+7) が成立すると仮定する L =(+1)(*²+7+6+18) +(k+1)(26²+13+18) LA L A =(1+1)(+2) (2k+9) (12)}=右 よってh-ktlのときも成立する (1)、(ふ)より、すべての自然数nに対して する