例題
基本の
222 最大値・最小値から3次関数の決定
<a<3とする。 関数f(x) =2x3-3ax2+b (0≦x≦3) の最大値が10, 最小値が
~18のとき, 定数a, bの値を求めよ。
① 区間における増減表を作り, f(x) の値の変化を調べる。
基本219
②①の増減表から最小値はわかるが, 最大値は候補が2つ出てくる。 よって, その
最大値の候補の大小を比較し,αの値で場合分けをして最大値をα 6で表す。
f(x)=6x2-6ax=6x(x-α)
f(x)=0とすると
x=0, a
<a<3であるから, 0≦x≦3 における f(x) の増減表は
次のようになる。
x
0
a
...
3
f'(x)
20
+
f(x) b
極小
b-a³
> 6-27a+54
よって、最小値はf(a)=b-dであり
b-q=-18
......
①
また, 最大値はf(0) = 6 または f(3)=6-27a+54
f(0) f(3) を比較すると
f(3)-f(0)=-27a+54=-27(a-2)
ゆえに 0 <α < 2 のとき (0) <f(3),
< (最小値) =-18
① 最大 最小
極値と端の値をチェック
大小比較は差を作る
2≦a<3のとき(3)(0)
[1] 0<a< 2 のとき,最大値は
f(3) =b-27a+54
よって
6-27α+54= 10 すなわち 6=27a-44
(最大値) = 10
これを①に代入して整理すると
a3-27a+26=0
って
(a-1)(a²+α-26)=0
a=1,
-1±√105
10 -27
261
1
1 -26
0
2
11-26
場合分けの条件を満たす
<a<2を満たすものは
a=1
かどうかを確認。
このとき ①から
b=-17
[2]2≦a<3のとき最大値は
f(0)=6
(最大値) = 10
って
b=10
これを①に代入して整理すると
[1],[2] から
a3=28
283であるから, a=328>3となり,不適。
a=1.6=-17
場合分けの条件を満たす
かどうかを確認。
