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基本例題 66 絶対値を含む1次不等式 (グラフ利用)
不等式2|x+1|-|x-1|>x+2をグラフを利用して解け。
指針 一般に、f(x)>g(x) ということは, y=f(x)のグラフが
y=g(x)のグラフより上側にあるということである。
右の図の場合, 方程式f(x)=g(x) の解を α, β(α<B) とすると,
不等式f(x)>g(x) の解はα<x<βとなる。
本問では, y=2x+1|-|x-1| ..... ① と y=x+2..... ② のグ
ラフを考え、 ①のグラフが②のグラフより上側にあるようなx
の値の範囲を求めればよい。
CHART 不等式の解 グラフの上下関係から判断
解答
y=2|x+1|-|x-1|とする。
x<1のとき
y=-2(x+1)-{-(x-1)}
y=-x-3
ゆえに
-1≦x<1のとき
y=2(x+1)-{-(x-1)}
ゆえに y=3x+1
1≦xのとき
K
10 1
y=2(x+1)-(x-1)
ゆえに
y=x+3
よって, 関数 y=2|x+1|-|x-1|のグラフは図の① となる。
一方, 関数y=x+2のグラフは図の② となる。
図から、①と②のグラフは,x<-1または-1≦x<1の範
囲で交わる。
①と②のグラフの交点のx座標について
x<1のとき, -x-3=x+2から
x=-
5
2
-2
-1≦x<1のとき, 3x+1=x+2から x==1/1/201
したがって, 不等式2|x+1|-|x-1|>x+2の解は
<- 31/12/2
<x
00000
\y=g(x)
y=f(x)
■基本 65
上
下
<x+1<0, x-1 <0
4x+120, x-1 <0
<x+1>0, x-1≧0
① は, 次の3つの関数のグラ
フを合わせたものである。
y=-x-3 (x<-1)
y=3x+1 (-1≦x<1)
y=x+3 (1≦x)
①のグラフが②のグラフ
より上側にあるxの値の
範囲。
