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時SM いつー<() で)
四
表列 (| が0<g」く3。 gm王1キ1キg (7三1 9 rtii) を満たすずとき
(1) 0くく3 を証明せよ。 (2) RT ciく(3= 計2⑳) を証明せよ』
(3) 数列 {Z。] の極限値を求めよ。 主人
171明本項3 量
Em 113 滑革と相押(9 :: はきみうちの原理
指針>!) 前Yー ー, 数学的帰納法 の利用。
(2) (1) の結果、 すなわち >0, 3一 >0 であることを利用。
(3) 滞化式を変形して, 一般項 7。 をヵ の式で表すのは難しい。そこで。 0
0 はさみうちの原理 を使って数列 (3一 cdの民を2の2
1 | はきみうちの原理 すべてのヵについて <e』 <の。 のとき !
1 lim limgn=ニならば lim g。三@
なお請次ぶ三 ジの補足事項も参照
(@ [3月 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
旧失 答
() 0くく3 …… ①⑩ とする。 <数学的帰納法による9
山] ヵ三1のとき, 与えられた条件から ① は成り立つ。 0<g」く3
[2] ヵ一たのとき, ①⑰ が成り立つと仮定すると 0<oxく3
ヵーん1 のときを考えると, 0くく3 であるから
のmm1上71十 >2>0 40くから /TTがな
maデーデ1土 1十2 く1圭二3 三3 4の<3 から 1Tが <
したがっ,で 0くく3
よって, ヵニルト上1 のときにも ① は成り立つ。
[1]][2] から、すべての自然数ヵについて ⑰ は成り立つ。
3 <す3-g)
2+71キの 3cono0.Gあ9 o2
るヵこ2 のとき, (2)か5
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(3-g.)モ0 であるから
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7の582 lim 3
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