学年

質問の種類

数学 高校生

微分の微分係数を出す問題です 白い線を引いてあるところの説明が分からなくて そういうものって捉えたらいいんですか? そうだとしたら、fをなくすなら、()の中の数字を二乗する ってことですか? 説明とかあったらそれも教えて欲しいです

練習問題 53 次の微分係数を求めよ。 (1) f(x) = x2 のとき, 微分係数 f' (1) を求めよ。 (2) g(x)=x^3のとき,微分係数g '(-1)を求めよ。 f′(1)=lim h→0 (1) では, (a)のaが1のときなので, 定義式f'(1) = lim g(-1+h)-g(-1) 同様に (2) では, lim を求めるんだよ。 h 0 h h→0 微分係数 =lim h→0 (1) f(x)=x2, x=1における微分係数 f' (1) を求めよう。 (1+h)=(1+h)',f1)=121より,f'(1) を定義式から計算すると、 ((1+h)²) 1 ƒ(1+h)-f(1) h X+2h+h²-X=lim h 210 =lim h→0 -0 =lim (2+h) = 2 となる。 h→0 CHECKI h→0 g′( − 1) = lim h→0 h→0 K よって,右図に示すように, y=f(x)=x^上 のx=1の点における接線の傾きが f'(1) = 2 と分かったんだね。 K(2 + h) g^(-1)=lim g(-1+h)-g(-1) h (1+h)2-1 h CHECK 2 −1+3h − 3h² + h³>1 h f(1+h) -f (1) を求め =lim h→0 h 式から計算すると, ((−1)³+3 · (−1)² · h+3 · (−1) · h²+h³ = − 1 + 3h − 3h²+h³ 1 + 2h + h²) -= lim h→0 -10 1 x (2) g(x)=x', x=-1における微分係数g '(-1) を求めよう。 g(-1+h)=(-1+h)', g(-1)=(-1)=-1より,g'(-1) を定義 0 CHECK 3 分子分母をんで割って 0 0 の要素を消去した! の不定形 ₁ y=f(x)=x² 0 -0 =lim (3-3h + h2 =3となって,答えだ。 h→0 接線 |接線の傾き |f'(1)=2 0 K(3-3h+h²) K ((-1+h)-(-1) h の不定形 このグラ このグ における ど分かるん どう? これ ラブ的な意味 I 導関数 ある関数」 求める”とい の通りだ。 |関数y= f(x)= エツ・ く同じだっ [重 味はまって 20 f れど、こ それを導 f'(x) = 「それを とおく だから が求ま

解決済み 回答数: 1
数学 高校生

なぜD>0が常に成り立つと言えるんですか?

αの値 基本126 変わらな 因 a+3 2 23 YA ふし, 2次方程 ある。 128 2次方程式の解と数の大小 (1) | 2次方程式xー2(a+1)x+3a=0 が, -1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を もつような定数aの値の範囲を求めよ。 [類 東北大〕 基本126 127 重要 130 \ 基本例 範囲を定めより 解答 ・例題 2次方程式f(x)=0の解と数の大小については, y=f(x)のグラフとx軸の共有点の 指針 位置関係を考えることで、基本例題 126, 127で学習した方法が使える。 すなわち、f(x)=x²-2(a+1)x+3aとして 2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ 放物線y=f(x)がx軸の-1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わる したがってD>0,-1< (軸の位置) <3, f(-1)≧0,(3)≧0で解決。 CHART 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目 この方程式の判別式をDとし, f(x)=x²-2(a+1)x+3a とする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, その軸は 直線x=α+1 である。 方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数 解をもつための条件は, y=f(x)のグラフがx軸の -1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わることである。 すなわち,次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。 [1] D> 0 [2] 軸が-1<x<3の範囲にある [3] f(-1) 20 [4] f(3) 0 [1] ={-(a+1)}²-1•3a=a²-a+1=(a−²)² \2 3 + 4 よってD>0は常に成り立つ。 ・・・・・・(*) [2] 軸x=α+1について -1 <a +1<3 すなわち -2 <a<2 [3] f(-1)≧0から ゆえに [4] f(3)≧0から ゆえに (-1)^2(a+1)・(-1)+3a≧0 a≥- -3/20 (2) 5 32−2(a+1)・3+3a ≧0 5α+3≧0 すなわち -3a+3≧0 すなわち al...... 3 ①,②,③の共通範囲を求めて 3 [1] (*)のように,αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。 Sa≤1 -2 3 ****** 指針 の方針。 2次方程式についての問 題 2次関数のグラブ におき換えて考える。 この問題では, D の符号, 軸の位置だけでなく,区 間の両端の値f(-1), f (3) の符号についての 条件も必要となる。 +₁ 1 2 -1 < (軸) <3 ya 0a+1 128 ような定数αの値の範囲を求めよ。 2次方程式2x²-ax+a-1=0が-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつ + 3 X 211 3章 13 2次不等式

解決済み 回答数: 2
数学 高校生

この問題、異なる2つの実数解をもつのでD<0だと思うのですが、D>0と条件に書いているのはなぜですか?

αの値 基本126 変わらな 因 a+3 2 23 YA ふし, 2次方程 ある。 128 2次方程式の解と数の大小 (1) | 2次方程式xー2(a+1)x+3a=0 が, -1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を もつような定数aの値の範囲を求めよ。 [類 東北大〕 基本126 127 重要 130 \ 基本例 範囲を定めより 解答 ・例題 2次方程式f(x)=0の解と数の大小については, y=f(x)のグラフとx軸の共有点の 指針 位置関係を考えることで、基本例題 126, 127で学習した方法が使える。 すなわち、f(x)=x²-2(a+1)x+3aとして 2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ 放物線y=f(x)がx軸の-1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わる したがってD>0,-1< (軸の位置) <3, f(-1)≧0,(3)≧0で解決。 CHART 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目 この方程式の判別式をDとし, f(x)=x²-2(a+1)x+3a とする。 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, その軸は 直線x=α+1 である。 方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数 解をもつための条件は, y=f(x)のグラフがx軸の -1≦x≦3の部分と、 異なる2点で交わることである。 すなわち,次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。 [1] D> 0 [2] 軸が-1<x<3の範囲にある [3] f(-1) 20 [4] f(3) 0 [1] ={-(a+1)}²-1•3a=a²-a+1=(a−²)² \2 3 + 4 よってD>0は常に成り立つ。 ・・・・・・(*) [2] 軸x=α+1について -1 <a +1<3 すなわち -2 <a<2 [3] f(-1)≧0から ゆえに [4] f(3)≧0から ゆえに (-1)^2(a+1)・(-1)+3a≧0 a≥- -3/20 (2) 5 32−2(a+1)・3+3a ≧0 5α+3≧0 すなわち -3a+3≧0 すなわち al...... 3 ①,②,③の共通範囲を求めて 3 [1] (*)のように,αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。 Sa≤1 -2 3 ****** 指針 の方針。 2次方程式についての問 題 2次関数のグラブ におき換えて考える。 この問題では, D の符号, 軸の位置だけでなく,区 間の両端の値f(-1), f (3) の符号についての 条件も必要となる。 +₁ 1 2 -1 < (軸) <3 ya 0a+1 128 ような定数αの値の範囲を求めよ。 2次方程式2x²-ax+a-1=0が-1<x<1の範囲に異なる2つの実数解をもつ + 3 X 211 3章 13 2次不等式

解決済み 回答数: 1