数学的帰納法 不等式 両辺の差の計算式があいません😭‎ 途中式も詳しく回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒ また解く時のコツなどあれば教えてください🙇‍♀️

5 [青チャート数学 すべての自然数nにつ 57 不等式の証明 +3+1/17/30/ 00000 以上のすべての自然数nについて,次の不等式が成り立つことを証明せよ。 3->n²-n+2 ① P.498 基本事項 「n」 であるすべての自然数nについて成り立つことを示すには、出発点を変えた 数学的帰納法を利用するとよい。 [1] n=●のときを証明。 出発点 [2]n=kk≧) のときを仮定し, n=k+1のときを証明。 本間では,n≧3 のとき, という条件であるから,まず, n=3のとき不等式が成り立つ ことを証明する。 なお, n = k +1のとき示すべき不等式は3*>(k+1)-(k+1)+2 大小比較 差を作る A>Bの証明は 差 A-B> を示す 1 CHART 数学的帰納法 nの出発点に注意 2 +1 の場合に注意して変形 [1] n=3のとき 左辺 =329, 右辺) =32-3+2=8 よって、 ① は成り立つ。 [2]n=k(k≧3) のとき,①が成り立つと仮定すると 3k-1>k2-k+2 (2) n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると,② から 3-{(k+1)-(k+1)+2} ゆえに =3.3k-1-(k2+k+2) >3(k-k+2)-(k+k+2) =2k2-4k+4=2(k-1)^+2>0 3k>(k+1)-(k+1)+2 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1] [2] から, n3であるすべての自然数nについて ①は成り立つ。 <出発点は n=3 (左辺) > (右辺) k≧3を忘れずに。 ② を利用できる形を作 り出す。 基本形を導くことによ (左辺) (右辺) > 0 が される。 指数関数のグラフについては,数学Ⅱ を参照。) 2の大小関係 関数 y=3x-1, y=x2-x+2のグラフは右図のようになる。 2つのグラフの上下関係から 3->n2-n+2 (n≥3) が成り立つことがわかる。 交点 7 12 4 01 2 y=r y=3-1 3

この解説の10、11行目において、(cosθ+i sinθ)のk乗がなぜcoskθ+i sinkθ になるのかがわかりません どなたかご回答よろしくお願いします🙏💦

(cos Otisin "=cos no+isin no 1 ・① が成り立つことを数学的帰納法により示す. [I〕n=1のとき, ①の左辺と右辺はともに, cos 0+i sin 0 であるから,①が成り立つ. [II] n=kのとき, ①が成り立つと仮定する. このとき, (cosO+isin O)+1 =(cos A+isin0)(cos A+isinθ) =(cosO+isin0)(cosko+isink0) =(cos ko cos 0-sin ko sin 0) +i (sin ko cos 60+ cos ko sin 0) =cos (k+1)0+isin (k+1)) となり, n=k+1のときも成り立つ. よって, [I] [Ⅱ] より すべての自 然数nについて ①が成り立つ.

数Ｂです！数学的帰納法とは何で使うのですか？また、手順はどのようにして、やるのですか？

マーカーの式はどうやって求めたものですか？

192 1/21.7 1/26.X / 23. 重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ... ・はさみうちの原理 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, …………) を満たす 1 (1) 0<a<3を証明せよ。 (2) 3-an+1<· 3 (3-4) を証明せよ。 (3) 数列 {a} の極限値を求めよ。 C i p.174 基本事項 3. 指針 (1) すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法 の利用。 (2)(1) の結果,すなわち > 0, 3-α>0であることを利用。 (3) 漸化式を変形して,一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで,(2)で 式を利用し, はさみうちの原理を使って数列{3-an}の極限を求める。... はさみうちの原理 すべてのnについて pan≦gn のとき limplimgn=α ならば liman=α 710 118 80 なお,次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 解答 (1) 0<an<3 ① とする。 [1] n=1のとき,与えられた条件から ①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<a<3 n=k+1のときを考えると, 0<ak <3であるから ak+11+ √1+ak 20 SE ak+1=1+√1+an <1+1+3=3 したがって 0<ak+1 <3 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 (2)3-αn+1=2-√1+an 3-an 2+1+an3 3 (3-an) n-1 (3-a₁) (数学的帰納法 <0<a<3 <0 < ak から ak<3から <3-α>0で ら 2+√1+ n≧2のとき (3) (1), (2) 5 0<3-an 1n-1 lim(1/3) (3-a) = 0 であるから したがって lim(3-an)=0 00+U liman=3 n→∞ <()*(3- 練習 α=2, n≧2のときan= Jan-1 1 を満たす数列{an}について 2 ③3 113 (1) すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。 (2) 数列{a} の極限値を求めよ。

数学的機能法の問題だとn＝1だけを使うものが多いと思うんですが、この問題みたいに n＝1、2の２つ使う時のはどうしてですか？どういう考えで２つ使おうと思いつくんですか？

立つ. 【解答】 D (I) とおくとき すべての自然数nについて, x+y=2a, xy=26 (a,b) P(n): x+y" は偶数である が成り立つことを数学的帰納法で示す。 [I] n=1, 2 のとき, x+y=2a, 1+1=1Jx² x+y=(x+y)²-2xy=2(2a²-2b) であるから, x+y, r'+g はともに偶数となり,P(1), P (2) は成り立つ。 [I]P(k),P(k+1) (k≧1) がともに成り立つと仮定すると, xk+yk=2M, xk+1+gk+1=2N この形ほしい を満たす整数 M, N が存在する このとき (xck+iy+xy+) いらない分ひく zk+2+yk+2=(x+y) (zck+1+yk+1)-xy(z+y^) =2a・2N-26・2M=2(2aN-26M) であるから,xk+2+yk+2は偶数となり,P(k+2) も成り立つ。 [1],[Ⅱ]より, すべての自然数nについてP(n) は成り立つ. 2) z=1+v3, y=1-v3 のとき, x, y はともに整数でない実数であり、 はともに偶数となる. ...① x+y=2,xy=-2 よって求める (x,y) の例の1つは、 (x,y)=(1+√3, 1-√3). イト

数Ⅲの極限の問題です。 (1)の解答の波線｢帰納法で〜がいえる.｣のくだりについて、帰納法がどのような内容になるのかがわからず、教えていただきたいです🙇‍♀️

20-0 以下で Xn, am を含む式はn = 1, 2,... で成り立つものと する. (1) Xn+1= 2xn+ 示し 2.xn Xn+1-√a≤ (xn-√a) a >√a (a>0) のとき,XnVaを を示せ. 〔名古屋大 〕 (2) a₁ = 2, an+1 = an +2 のとき,an>1を示し an+1 |an+1-√2|≤ √21|an - √2| を示せ. (3) 0 < a₁ ≤ 1 , an+1= 2 [徳島大〕 2am(1 - am) のとき, 0 < an≦1/12 an ≦ an+1 を示し lim an 848 = を示せ. 2 〔三重大〕 《方針》 次の原則 (例外はあります) 漸化式で定義された数列の一般項についての証明 ⇒ 帰納法 に従います。 以下ではいちいち明記しませんが, 帰納法を何度も用いていま す。また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです. Xn+1-Va= から 《 解答》(1) x1 > √a と 2xn xn><a= ⇒Xn+1>√a がいえるので、帰納法でxn>√(n=1,2, ...) がいえる. 次に③から xn2+a-2√axn=(xn-va)2 2xn Xn+1- √a= 1Xn-va 2 (xn−√a) Xn であり、ここで 0< Xn-√a =1- Xn Va xn ≤1 だから

3かける3のK乗になってるのはなんでですか🙇‍♂️

日本 例題 45 数学的帰納法と式の証明 nが自然数のとき,数学的帰納法によって、次の等式 00000 1+3+32 +....+3"-1=1 2 (3-1) を証明せよ。 数学的帰納法 (基本) CHART & SOLUTION Op. 420 基本事項 1章 5 [1] n=1のときを証明 [2]nkのときを仮定し,n=k+1のときを証明 等式を証明するのであるから,左辺, 右辺それぞれを計算して, 両者が等しいと結論する。 または,左辺 (または右辺) を変形して, 右辺 (または左辺) を導く。 解答 [1] n=1 のとき (左辺)=1,(右辺 = 1/12(3-1)=1 ゆえに、 ① は成り立つ。 [2] n=k のとき ①が成り立つと仮定すると 1+3+3²+…......+3*−1=(3-1) +1 の場合を考えると ・・・・・・② ① に n=k を代入。 (*) 数学的帰納法 ②から1+3+3+3+3=1/12 (3-1)+3* 2 =1/12 (331) =1/12 (11) よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1] [2] から すべての自然数nについて等式①は成り立つ。 ①の左辺のnをk+1と して,に②を代入。 1/12(3-1)は、①の右 辺に n=k+1 を代入し 式。

丸をつけたところがなぜ正だとわかるのかわかりません。教えてください🙏

8 数学的帰納法 (II) nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を 伺いて証明せよ。 ) 1²+2²+ ··· +n² = — —½n(n+1)(2n+1)………………….①℗ 1+ 1 1 3 1 + ・+・・・+ n 2n n+1 (2) i) n=1のとき 左辺 = 1, 右辺 = 2.1 1+1 -=1 となり, n=1のとき②は成立する. ii) n=k のとき, ② が成立すると仮定すると 1+ 2 ++ 1 1 2k +・・・+ M ......②' kk+1 eɛ1 ②' の両辺に 1 を加えると k+1 左辺を証明したい式 2 左辺 =1+1/+1/3+..+/+/ath にする +・・・+ kk+1 2k 1 2k+1 右辺 = + k+1 k+1 k+1 2(k+1) k k+1 k+2 ->0 (k+1)(k+2) <ここがポイント 1 1+ ・+・・・+ 1 2k+12(k+1) 2 k+1 k+1 k+2 すなわち, 1+1/2 1 2(k+1) +・・・+ k+1 k+2 手順は 37 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1のとき の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に 違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解答 i) n=1のとき 左辺=1,右辺 = 1/2・1・2・3=1 よって, n=1のとき, ① は成立する. ) n=kのとき 12+2+... +k^= = k(k+1)(2k+1)..... ここで, 2k+1 が成立すると仮定する. ①の両辺に(k+1)2 を加えて 左辺 =12+22+..+k²+(k+1)2 右辺 = 1/2k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 ◆左辺に, 12+22+... +k²+(k+1)2 を作ることを考える -1/2 (k+1){(2k+k)+6(k+1)} =- =1/2 (k+1)(x+2)(2k+3) これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである. よって, ① は n=k+1 でも成立する. ゴ), ii)より, ① はすべての自然数nについて成立する. これは, ② に n=k+1 を代入したものである. よって, n=k+1 でも②は成立する. i), ii)より, すべての自然数nについて ② は成立する. ポイント 数学的帰納法を使って証明するとき, n=k のときを 仮定したら, n=k+1 のときを計算用紙に書いてお 2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき 作業を決める 演習問題 138 nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を用 いて証明せよ. 1 +・・・+ 1-2 + 2-3++ (n+1)+1 (1) 1 1 (2) + + 22 + 32 + +.... 1 ≦2- n

なぜ黄色の部分がk^2になるのかが分かりません！誰か教えてくださると嬉しいです！よろしくお願いいたします🙇

数学的帰納法による等式の証明 』を自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 1+3+5+･･･+ (2n-1) = n² 視点 19ページでは①が成り立つことを,図や等差数列の和の公式を利用して考 えた。数学的帰納法を用いることでも ①を証明できるだろうか。 証明 [1] n=1のとき (左辺) = 1 (右辺) = 12=1 よって、 ① は n=1のとき成り立つ。 [2] ① が n=kのとき成り立つ,すなわち 1 +3+5+ ･･･+(2k-1)=k と仮定して, n=k+1 のとき ①が成り立つことを示す。 n=k+1 のとき,①の左辺を ② を用いて変形すると = 1 +3 +5 + ･･･ +(2k-1)+{2(k+1)-1} = k + (2k+1) = (k+1)2 n=k+1 のとき, ①の右辺は (k+1) よって, ① は n = k+1のときにも成り立つ。 [1], [2] より すべての自然数nについて ①が成り立つ。 弘法を用

数学Bの漸化式と数学的帰納法のとこです。 数列｛α_n｝が α_1=4, α_n+1=3α_n－5 (n=1,2,3,…)で定められるとき、第5項を求めなさい。 という問題です。計算過程も教えていただけたら嬉しいです。とても苦手なのでできるだけ簡単に教えていただけると幸... 続きを読む

¥234 {an}. が A₁ = 4, An+1=3An-5 (n=1,2,3..) で定められるとき、第5項を 求めなさい