Question

さ

この解説の10、11行目において、(cosθ+i sinθ)のk乗がなぜcoskθ+i sinkθ になるのかがわかりません
どなたかご回答よろしくお願いします🙏💦

(cos Otisin "=cos no+isin no
1
・①
が成り立つことを数学的帰納法により示す.
[I〕n=1のとき,
①の左辺と右辺はともに,
cos 0+i sin 0
であるから,①が成り立つ.
[II] n=kのとき,
①が成り立つと仮定する. このとき,
(cosO+isin O)+1
=(cos A+isin0)(cos A+isinθ)
=(cosO+isin0)(cosko+isink0)
=(cos ko cos 0-sin ko sin 0)
+i (sin ko cos 60+ cos ko sin 0)
=cos (k+1)0+isin (k+1))
となり, n=k+1のときも成り立つ.
よって, [I] [Ⅱ] より すべての自
然数nについて ①が成り立つ.

sin cos 三角関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

ド・モアブルの定理です。

まず前提として、複数数の掛け算は長さの積と角度の和によって求められます。
(そうなるように複素数というものを定義した)
よって
(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)
=cos(α+β)+isin(α+β)
が成り立ちます。
(cosΘ+isinΘ)^kは
(cosΘ+isinΘ)をk回掛け合わせたものなので、
角度はΘをk回足し合わせたものになります。
よって
(cosΘ+isinΘ)^k=(coskΘ+isinkΘ)
が成り立ちます。

さ

そういう定理が存在してたのですね！！理解できました、詳しくご丁寧にありがとうございました！