例題 41 2次方程式の解の配置と解と係数の関係
2次方程式x2kx-k+2=0が, 次の条件を満たすような定数kの値の範囲を
求めよ。
(3) 2解がともに2より小さい
(1) 2解がともに正 (2) 2解が異符号
(1) 判別式を D,2解を α,βとすると,2解がともに正であるためには
D≥0, a+B>0, aß>0
であればよい。
D=k² − (−k+2) =k²+k−2
=(k+2)(k-1)≧0より
k≦-2, 1≦k
解と係数の関係から
(a−2) + (B-2)<0
(a-2)(8-2) >0
④ より α+β<4
◆異なる2解”とかかれていないときは, 重解の場合も含む。
a+B=2k>0 k>0 ... ②
aβ=-k+2>0 k<2
...(3)
よって, ①, ②, ③ の共通範囲を求めて
1≦k<2
(2) 2解が異符号であるためには
αβ=-k+2<0
したがって k>2
?
どこからきた
(3) α<2,B<2^だから α-2<0, B-2<0
したがって,次の ①, ④, ⑤ を満たせばよい。
MADZO
0-10
2k<4 ゆえに k<2
⑤ より αβ-2 (a+β) +4>0
-k+2-2.2k+4>0
④ xtpso ?=
5 × ² > · J-) (I- &
△
①, ④, ⑤'の共通範囲を求めて
6
k-2,1≦k<
-5k>-6 ゆえに k</1/…..⑤
《2次方程式の実数解の符号》
ax2+bx+c=0(a≠0)
の判別式をD,2解をα,βとすると
2解がともに正
⇒D≥0, a+B>0, aß>0
2解がともに負
⇔D≧0, a+ B <0, αB>0/
・2解が異符号
⇔ αB <0
･･･④ート
12V±
3
-2
20
D≧0 は必要ない。
◆α, βが2より小さいとい
う関係式を使って ③ ④
を表すことが大切。
(負)+ (負)<0
(負)×(負)>0
065
1 62 k
2次方程式の解の正, 負や大、小を決定する問題は、 数Ⅰでは2次関数のグラフを利用した。
この解答のように, 解と係数の関係を使う場合は判別式D と, 解 α, βの和と積を考えるが
大きいときはα-t> 0, β-t>0
α, βがt より →
として考える
