教えてください

1 lim-cos を求めよ。 4 n→0 n

数3の平均値の利用についてです。 場合分けの【2】の赤線部分の記述の意味は分かるのですが、なぜ【1】で 「x→-0であるから、-1<x<0としてよい」 とは書かなくてもよいのでしょうか

に表して極限値を求める。 なお, 平均値の定理を適用する区間はx→-0とxー tn F(x)=cos.x とすると, f(x) はすべての実数 x について微分可|平均値の定理が適用できす 指針> f(x)=cos.x と考えたとき, 分子は 差 「(x)-f(x*) の形になっている。よって、物 重要 例題173 平均値の定理を利用した極限 COS x-cos? 00000 を求めよ。 ち5 平均値の定理を利用して,極限値1lim xーx? X→0 体 11,11 ジの基本例題172同様, 差(6)-S(a)には 平均値の定理の利用 COS x-cos x? 0 を微分係数の形しr の方針で進める。それには, 平均値の定理により, xーx? ときで異なるから注意が必要である。 解答 不の( 条件を述べている。 能であり f(x)=-sinx た x<x°であるから, 区間 [x, x°] において, 平均値の定理を x<0<x [1] x<0 のとき 用いると ケ戸代増ケ 0< 0 COS x* COS X =-sin0,, x<日<x? b-a x-x を満たす0.が存在する。 lim x=0, lim x?=0 であるから a<cくb lim 0.=0 x→-0 はさみうちの原理。 すだけ x→-0 ズ→-0 COS x*-cOS X lim X→-0 lim(-sin0.)=-sin0=0 よって x°-x x→-0 文の [2] x>0のとき,x→+0 であるから, 0<x<1としてよい。xー +0であるから、 このとき, x°<xでのるがり, 凶向 [X", x] において,平均 値の定理を用いると x=0 の近くで考える。 ア I> (6)-(a)=fd) 80-| a<cくb COS x-COSx =-sin 02, x<02<x x-x を満たす 2が存在する。 lim x°=0, lim x=0 であるから b-a lim O2=0 はさみうちの原理。 x→+0 x→+0 x→+0 よって COS x-Cosx lim lim(-sin0)= isin0=0 (*)左側極限と右側極限が 0で一致したから, 極限値 x→+0 x-x? x→+0 以上から COS x-Cos x lim X→0 x-x は0となる。

波線部分がよくわかりません

(3) 0 < a1 冬 方 an+1 = 2a,(1- an)のとき,0< an ミ 2 an San+1 を示し lim an= 2 8↑= を示せ。 (三重大)

漸化式と極限の問題について質問です。 (2)までは解けたのですが、(3)が解説を読んでもいまいち分かりません。 赤枠部分の考え方を教えていただきたいです。 また、最後のlimの計算はlimを分配しているのでしょうか？ 回答よろしくお願いします🙇‍♀️

|3) lim an 4,>4として、新化式 a,+」=/a,+ 12 で定められる数列(a,)を考える。 に対して、不等式a,>4が成り立つことを示せ。 (2) n=1, 2,3, に対して,不等式 an+1 -4<(a,-4)が成り立つことを示せ。 を求めよ。 解説) (1) 数学的帰納法で証明する。 a,>4 とする。 [1] n=1のとき, a,>4よりn=1のとき①は成り立つ。 [2] n=kのとき①が成り立つと仮仮定すると。 a>4 n=k+1 のとき =+12-4>V4+12-4=0 よって a+1>4 したがって、n=k+1 のときも①は成り立つ。 [1], [2] から,n==1, 2, 3, ·に対して, ① は成り立つ。 Cn+1-4=Va,+12-4 (Va,+12)-4° Va,+12 +4 1 Ta+12 +4 "(4,-4) 2 (1)より a,>4 であるから Va,+12 +4>V4+12 +4=8 1 Va,+12 +4 8 また a,-4>0 これらと②から an+1-4< (a月ー4)

初めての質問なので、不手際があればすみません。 数Ⅲの連続と微分可能についての問題について質問です。 解答の「次に」から始まる箇所からx＝0で微分可能かどうか調べている訳ですが、セオリーというか定義通りにいけばh→+0とh→-0の2通りに分けて考えると思うのですがここではh... 続きを読む

題 150 連続と微分可能 「代の 1 *sin-(xキ0) 関数 f(x)= 0 x は,x=0 で連続か.また,x=0 で (x=0) 微分可能か、 (連続) f(x) が x=a で連続 limf(x)=f(a) 〈微分可能) f(x)が x=a で微分可能 f(a)=limf(ath)-f(a) h x→a h→0 が存在する このとき,「微分可能であれば連続」であるが,「連続であっても,微分可能とは限らな い」ことに注意する。 xキ0 で 0Ssin S1, x>0 より, 解答 | lim f(x)=f(0)であるか確 ズ→0 'sin Sx? かめて,x=0 で連続かど うか調べる。 |x>0 より,各辺にx°を 掛けても,不等号の向きは 変わらない。 各辺をx→0として極限 をとり,はさみうちの原理 を利用する。 0S limx=0 より, lim x°sin- x→0 x→0 したがって, lim f(x)=limx'sin-=0 x→0 x→0 x f(0)=0 より, limf(x)=f(0) となり, 関数f(x) は x=0 で連続である。 f(0+h)-f(0) \'らまてめ 5ゃってる (保全上?) x→0 次に、 lim h x=0 で微分可能かどうか h→0 調べる。 1 h'sin -ー h Y4 Thtりe 0こくなる 0shsin- Sl limla-0 より,①は、 =lim h |y=f(x) h→0 1 =limhsin h h→0 h→0 1 h th7arの07-中定め limhsin- =0 h→0 よって,f"(0) が存在するので、 関数 f(x) は x=0 で微分可能である。 F(0)=0 )x=a で連続であることとは別に x=a で微分可能であることを示す必要がある。

至急です！ どうしてこの形になるのか教えていただきたいです。 よろしくお願いします！

=lim(1-co (2) 0Scos"x<1であるから, x>

n乗の極限の回答が理解できません。 もし回答の考え方が合ってるとするなら、ノートに書いたように答えが複数出てきて矛盾すると思うのですが、 自分はどこを間違えているのでしょうか。

(3) lim 2 1\n-1 =0 から,はさみうちの原理により lim (a,-V3)=0 #→0 n→0 ゆえに, lim a,= V3 である。 n→o 37[c間36]無限級数[リンクI 奈良県立医科大] CO 無限級数の和× を求めよ。 23月+1 #=1 を は ) n h-l 2。 n-2 52 解答 こ(24 207 24 nil 24 24 24 n=1 nel (解説) 1 1 52 9/1 2 2(24 9 24 8 2 ニ ニ 23月+1 1- 8 2 207 1 1- 24 n=1 れ=1 2 II

この問題って2枚目に載せた解法でも大丈夫なのでしょうか…？

x°sin (xキ 0) 292*関数 f(x) = のx=0 における連続性,および微分可能 ニ x 0 (x =0) 性を調べよ。

赤線の「k>=1」が何故そうなるのかわかりません。教えてください。

(1) lim{nとて 226第3章 数列の極限 Check 例 題 100 はさみうちの原理3) (東京理科大) 次の極限値を求めよ. 1 Him (の登) (2k-1)(2k+1) カ→ 0 (2k-1 2k+1 考え方」 (2) k21 のとき, 0< (4°-1)<だくだ+k であるから, 4 4°-1 (24-12+D- ケー)と部分分数に分解する。 1 11 1 くく より,京(千1)<声く(zk-1)(2k+1) が導かれる。 1 2 1 2k+1 三 解答 (2k-1)(2k+1) 1 円 k=n 2 (2k-1 k=n 十 …+ 4n-1 4n+1 1 1 2n+1 2n+3 2 2n-1 2n+1. 1 1 1 2(2m-1ー) 4n+1 mit 1 1 1 n =lim 2n よって, limnこ2k-1)(2k+1)) 2(2n-1 4n+1) n→0 n→ 0 k=n 1 1/1 lim 2 1 2(2 4 8 1 4+ 2- n n→0 n 2)を21より,0<-(4k°-1)<だくk+k が成り立つから, ?11 『+k 4 <京くててk-1)(2k+1) 4 つまり, k? 4k-1° 2n 2n 1 2n 4 (2k-1)(2k+1) (1 k よって, n2 を=n k(R+1) -<nこーくnこ を=nk? 1 k=n 2n 2n ここで, lim{n =lim{n) k+1 n→0 n→0 k=n =limn- 1 1 1 2n n n+2 n→0 n- 2月+11 =lim n =1 2n+1 n→o n 2n また, nと 2n 1 =n(2k-1)(2k+1) =4·n2 た=ル(2k-1) (2k+1) 日の経果を聞いると、回 j+ 2n lim{n2 ール (2k-1) (2k+1)」 4 1 1 =4 n→o よって,D, 2, ③とはさみうちの原理より、 8 2 2n lim n →0 k=Dn 次の極阻 位もは

2番で、nがaよりも大きいと仮定してるのはわかるのですが、aがnよりも大きい場合もあると思います。 この場合、はさみ撃ちができなくなるのですが、どうしてnがaよりも大きい場合は考えなくても良いのですか？ 分かりにくくてすみません、、、

0 ート 1. 正の実数rについて, 以下の問いに答えよ。 (1) 自然数n に対し,不等式 e"> が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。(1) 回目に開ら を求めよ。ただし, aは実数の定数である。 iu (2) 前問で示した不等式を用いて極限値 lim (3) 前問の結果を用いて極限値 lim z'log a を求めよ。 ただし, bは正の定数である。 Ta-L/(mol·K) 0+←2 (1ou)/7-01 × 1670