4 iを虚数単位とし, 複素数αを α = COS
27+ + isin 2 とする。 αは1の7乗
根のひとつでありα+α+α+ α + α + α +1=0を満たす。 αとは互い
に共役な複素数であり, 25 および α と α についても同様である。
複素数平面において14個の点A,
A1, ·......,
A13 を
A2n(α² )
A2n+1 (-α+4)
(n=0,1,2)
A2n+1(-"-3) (n=3,4,5,6)
と定めると AoA・・・・・・ AA13は下図のような正十四角形になる。
y
A6(3)
A7(-1)
A5(-α6)
Ag(4)
A⁹(-α)
A₁(α²)
(n=0,1,2,･････, 6)
A10(5)
Ag(-a)
A₁1(-α²)
A2(α)
A12(6)
A₁(-α¹)
Ao(1)
A13(-α³)
I
り
このとき,対角線 AoAs, A2A6. A4Ayo が1点で交わることを証明した。
線 AA5 と AA10 の交点をP(z)として、以下の問いに答えよ。(土)
(1) P が対角線 AA10 上にあることから, zとαの実部は等しい。 これを利用し
て,z+ αの5次以下の整数係数の多項式で表せ。
(2) AlAs OA は平行なので、ある実数kを用いて AP=kOAgと表すことが
できる。 これを利用してzをa, kを用いて表せ。
(3) (2) 実数をαの5次以下の整数係数の多項式で表せ。 必要であれば
a=
a¹ + a²
EESTERS IN
が成り立つことを利用してもよい。q(≧=>0
(4) A2,A6, P が同一直線上にあることを証明せよ。
以上により,対角線 A0A5, A2A6, A4 Alo が1点で交わることを証明できる。
