Question

なむ

マーカーを引いている箇所がどうしてそうなるのかわかりません解説お願いします！わかりやすく教えてくれたら嬉しいです！！

まで
応用問題
436 方程式x-3ax+α = 0 が異なる3個の実数解をもつとき,定数aの値の範囲
を求めよ。

-1-a
436 f(x)=x-3ax+αとする。
極大
方程式f(x)=0 が異
なる3個の実数解を
もつのは、関数 f(x)
が極値をもち, さら
に極大値と極小値が
異符号であるとき
すなわち
f'(x) =3x2-3a=3(x2-a)
(極大値)×(極小値) <0 となるときである。
f(x) を微分すると
x
f(x) が極値をもつとき
このとき,f'(x)=0 とすると
f(x) の増減表は次のようになる。
f'(x)
f(x)
+
1
-√a
0
極大
よって, 求める条件は
すなわち
したがって
a>0 より
よって
+
a>0
a>
...
J
²>0であるから
1
極小
√a
x= ± √a
0 +
\ 極小 7
a(2√a +1) a(-2√√a +1) <0
α2 (1-4a) <0
f(-√a) f(√a) <0
x
1-4a<0
ar

Answer 1

AZ

3次関数f(x)が極値を持つためには、f'(x)=0となるxが2つ存在する必要があります.
a>0のとき、x＝±√aとなって条件を満たします.
a＝0のとき、x=0になるので条件を満たしません.
a<0のとき、x＝±√aになりますが、根号の中のaが負なのでxは虚数です.なので、これもまた条件を満たしません.
∴a>0
f(√a)＝(√a)³-3a√a+a＝a√a-3a√a+a＝-2a√a+a＝a(-2√a+1)　
f(－√a)についても同様です.何か質問があれば言って下さい.

※3次方程式の判別式を使った別解です(検算用).
3次方程式ax³+bx²+cx+d=0の判別式Dは
D=-4ac³-27a²d²+b²c²-4b³d+18abcd
ここでa=1,b=0とおくと、
x³+cx+d=0となり、このとき判別式はD=-4c³-27d²です.　(この形の方が出やすいです)
今回は、D=-4(-3a)³-27a²　で、異なる3つの実数解を持つ条件はD>0です.
∴-4(-3a)³-27a²>0
⇔108a³-27a²>0
(÷27a²)⇔4a-1>0　(∵27a²>0)
∴a>1/4

Answer 2

さいとう

a=-tだとします。
すると（X^2+t）となり。虚数解しか持たなくなるからです。

f(x)に解を入れると出てきます。