Question

k.ug

一番がよく分からないので教えてください
なぜ実数解または虚数解を持つ判別式になるのか、なぜX＝0になるのかを教えください！

33=xt
=xid_x+xd_+$enti
練習 f(x)=x+4x+αx2 について,次の条件を満たす定数aの 値の範囲を求めよ。
④210 (1) ただ1つの極値をもつ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 p.327 EX137,

の解答で、
り立つ
こときは
大値
(B)と
ら
f(x)は
称性から
at
2
2
別解 α, β はf'(x)=0の2つの解であるから,
f'(x)=3(x-α)(x-β)
よって
と表される。
f(as (B)-Sof(x)dx=3f(x-a)(x-B)dx
=3-(-²)(a-B)³ = 1/(B-a)³
6
=3•
D
4
練習 f(x)=x+4x+ax2 について、次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。
(2) 極大値と極小値をもつ。
⑨210 (1) ただ1つの極値をもつ。
2017-0
f'(x)=4x3+12x2+2ax=2x(2x2+6x+a)
(1) f(x) がただ1つの極値をもつのは, 3次方程式 f'(x)=0 が
異なる3つの実数解をもたないときである。
f'(x)=0 とすると
x = 0 または 2x²+6x+α=0
よって、求める条件は、 2x2+6x+α=0が次の [1] または [2]
のような解をもつことである。
[1] 重解または虚数解をもつ [2]x=0 を解にもつ
[1] 2x2+6x+α=0の判別式をDとすると D≦0
0<(A D
=32-2a=9-2a よって, 9-2a≦0から
4
[2] 2x2+6x+α=0にx=0を代入すると a=0
9
したがって a=0, az 2
a≧
S積分法を利用する
a≧
9
←本冊 p.352 基本
230 (1) 参照。
S
(AS-Sy=f'(x) 077
(2) f(x) が極大値と極小値をもつのは, 3次方程式f'(x)=0 a</a/ca≠0↑
異なる3つの実数解をもつことである。
<9
01
2'
よって, 2x2+6x+α=0はx=0 の異なる2つの実数解をもつ。
ゆえに
=9-2a>0 かつ a≠0
$26tia
3
2

Answer 1

きらうる

f(x)は4次関数です。
通常4次関数は極値を3つ持ちます。それはf'(x)が3次式になりf'(x)＝0となる解が最大3つ存在するからです。

では、ただ１つの極値を持つとはどういうことか。
解説には「f'(x)＝0が異なる3つの実数解を持たない」とあります。
言い換えると、f'(x)の3次式が『①実数の3重解をもつ』、もしくは『②1つだけ実数解で2つは虚数解になる』、『③1つだけ実数解で2つは重解になる』この3つになります。

f'(x)＝2x(2x²+6x+a)＝0
から、x＝0は1つの解として確定しますので、
①から2x²+6x+a＝0もx=0の解を持つ
　→　x＝0を代入する
②から2x²+6x+a＝0が虚数解を持つ
　→　判別式＜0
③から2x²+6x+a＝0が重解を持つ
　→　判別式＝0

この3つが条件となって解答のようになっています。

k.ug

判別式を表すときのグラフをそれぞれ教えて欲しいです、