参考書にはこれが公式として載ってるのですが、これはすぐ平均値の定理で出せると思うのですが、覚えといた方が良いですか？

ex - 1 lim = 1, 04x x

この問題でピンクの線の発想が全然出てこなかったのですが、どうすればわかりますか？

の極限 3 次の極限が有限の値となるように定数a, b を定め,そのときの 極限値を求めよ. lim x→0 √9-8x+7cos 2x - (a + bx) x² 〔大阪市立大〕 アプローチ (イ) f(x) lim = x→a g(x) = A, lim g(x) = 0 ⇒ lim f(x) = 0 xa x→a ますか です (A は実数). これをかみくだいていうと, 「分数関数の極限において, 分数関数が収束し分母が0に収束するときは分子も0に収束する」というこ とです. なぜなら, lim_f(x) x→a == lim f(x) 〔分子について考える〕 g(x) 〔もとの分数関数の形を作って調整しておく〕 f(x) = = lim lim g(x) xa 〔積の極限は極限の積] x→a g(x) xag(x) =A.0=0 となり分子も0に収束することがいえます。 本間は分母が x2 だからこの議論を2回くり返すことになります.つまり f(x) f(x) lim : lim X = x→0 x2 = (有限の値) x→0 X ととらえて次のことがいえます x→0 lim_f(x) = 0, lim f(x) = 0 x→0 X この2つの条件から a, b を求めます. (口) 極限は不定形のタイプを確認してから式を変形する習慣をつけておきま しょう.それはそれぞれの

赤い四角で囲った部分が分かりません。 なぜ急にyの極限を求めるのかわからないです。 また、なぜその値になるのか分からないです。 解説お願いします

例 x2-3x +3 曲線 y= x-2 の概形をかく。 y = この曲線を表す関数の定義域は, xキ2である。 (x-2)(x-1)+1 x-2 x-1+ 関数y=f(x)のグラフの概形をかくときには,次のような事柄について調べるとよい。 (1) 定義域 値域 (2) 対称性,周期性 (3)増減,極値 (4)凹凸,変曲点 (5) 座標軸との交点などの特別な点 (6)漸近線 (7)連続でない点, 微分可能でない点の様子 簡単な式に変形する! -3x+3をx-2で割った 商は x-1, 余りは1 1 x-2 ① 1 ①より y′=1- (x-2)2 (x-1)(x-3) (x-2)2 y" -2 = 2 であるから,増減,凹凸の表をつくると、次のようになる。 (x-2)3 (x-2)3 X 1 v' + 0 2 3 ... - 0 + " - - + + + Km-(x-1)= X-2 lmをとっても「」の関係は変わら y と形で y -1 2 4 3. また,① より lim{y-(x-1)}= lim x→∞ X-80 X 3 y=x-1 lim{y-(x-1)}= lim 1 x2 であるから,直線 y=x-1 はこの曲線の漸近線 x2-3x+3 y= x-2 x2+0 直線x=2 もこの曲線の漸近線である。 である。 さらに, lim y=8, lim y=-∞ であるから, O 1 123 x x-2-0 以上より, 曲線の概形は右の図のようになる。 関数 f(x) が連続な第2次導関数をもつとき f'(a) = 0, f'(a) > 0 ならば, f(α) は極小値 f'(a) = 0, f" (a) < 0 ならば, f (a) は極大値 例 第2次導関数を利用して, 関数 f(x) = (x²-2x)ex の極値を求める。 f'(x) = (2x-2)ex+(x²-2x)ex = (x-2)ex f'(x) = 2xex+(x-2)ex= (x2+2x-2)ex であるから、f'(x) = 0 となるのは,x2=0のときである。 よって ここで であるから 極大値は 極小値は x=-√2-√2 f"(-√2)=2√/2e0f"(√2)=2√20 f(-√√2) = (2+2√2) e-s -√2 f(√2)=(2-2√2evz

増減表まではわかったのですが、赤い四角で囲った部分は、なぜ、＝0になると漸近線であると言えるのか分かりません。そもそも、なぜ両式の極限をとるのですか？？ 解説お願いします

・関数 y=f(x) のグラフの概形をかくときには,次のような事柄について調べるとよい。 . (1)定義域・値域 (2)対称性,周期性 (5) 座標軸との交点などの特別な点 (3)増減,極値 (4) 凹凸,変曲点 (6) 漸近線 (7)連続でない点、微分可能でない点の様子 x2-3x +3 |例 曲線 y= の概形をかく。 x-2 この曲線を表す関数の定義域は, xキ 2 である。 ・簡単な式に変形する!!御分 x2-3x+3をx-2で割った (x-2)(x-1)+1 1 商はx-1, 余りは1 y = = x-1+ x-2_ x-2 1 ①より y′=1- (x-2)2 (x-1)(x-3) (x-2)2 y" -2 2 (x-2)3 (x-2)3 3章 微分の応用 であるから,増減,凹凸の表をつくると、次のようになる。 XC 1 ... 2 ... 3 y' + 20 - 0 + <-(x-1)= V" - - + + + y -1 と変形できる 2-2 y 3 また,① より lim{y-(x-1)} = lim 1 =0 x→∞ x→∞ x2 s 3 y=x-1 lim{y-(x-1)} = lim_ 1 = 0 x→∞ x→∞ x-2 _x2-3x+3 であるから,直線 y=x-1 はこの曲線の漸近線 y= x-2 である。 1 123 x さらに, limy = ∞, lim_y = -8 であるから, x-2+0 x-2-01 直線x=2 もこの曲線の漸近線である。 以上より, 曲線の概形は右の図のようになる。 ・関数 f(x) が連続な第2次導関数をもつとき f'(a) = 0, f'(a) > 0 ならば, f (α) は極小値 f'(a) = 0, f'(a) < 0 ならば, f (α) は極大値 例第2次導関数を利用して, 関数 f(x) = (x²-2x)e* の極値を求める。 f'(x) = (2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x-2)e* f'(x) = 2xe*+(x2-2)ex = (x+2x-2)ex であるから、f'(x)=0 となるのは, x2=0のときである。 よって ここで であるから x=√2-√2 f"(-√2)=2√2-2<0, f'(√2)=2√2e > 0 極大値は f(-√2) = (2+2√2) e-v2 極小値は f(√2)=(2-2√2) ev 1節・接線, 関数の増減 49

なんで急に赤い四角のが出てきたのか分かりません。 解説お願いします なぜカッコの中がその値になるのかを知りたいです ちなみに、問題は2枚目にあります

4315 3 πT √3 2 0 ππ 3 2 23 π πC 204 (1) この曲線を表す関数の定義域は, x=0である。 y = -1 X 1 =x-- x ... ① x であるか と, x y' y 次の + ①より 1 y = 1+2, y" = _2 x3 であるから,増減,凹凸の表をつくる と、次のようになる。生息する v' a a また,① lim{y x→∞ lim { 811X であるから 線の漸近線 lim y X ... 0 + (xml+x y " また ① より x→∞ ++ = 0 x→∞ x lim(y-x) = lim( lim (y-x) = lim 2(-1/2)=0 x→1+0° であるから 直線 x = 1 もこの曲線 の漸近線で ある。 以上より, 曲線の概形 は右の図の 3418 X118 x であるから、直線 y=xはこの曲線 の漸近線である。さらに ようになる。 limy =-∞, lim y = ∞ x+0* x-0 であるから,y軸もこの曲線の漸近線 である。 以上より,曲線 の概形は右の図 のようになる。 また,この曲線 原点に関して y y=x/ 206 y': =12x x2-1 y= Xx -1 対称である。 10/1 (2)この曲線を表す関数の定義域は, x=1である。 y = (x-1)(x+1)+4 x-1 4 ...O 2次方程式 6x2 D = a² - (i) D≦ 0, する すべての実数 (ii) D> 0, すな 6x2 + ax +2= とすると 6(6 y" = 36a

赤線部分のように変形できるのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

(1) すべての自然数nに対して 1 A B + n2+6n+8 n+2 n+4 を満たすような定 数A, B の値を求めよ. 1 (2) 無限級数 2 n=1n+6n+8 の和を求めよ.

赤線部のように分かるのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

lim(v4n2+n+1-an) が収束するような定数αの値を求めよ. 81 また、そのときの極限値lim (√4n2+n+1-an) を求めよ. →∞

増減表の1次導関数の増減で、極値の右側と左側の値を何か適当なものを代入していつも増減を判断しているのですが、今回なぜか答えと逆の符号になってしまいました。見直してもなぜダメかわからないので、何か他にいい方法はあったら教えていただきたいです。 （自分はxに1とeの2乗を入れて... 続きを読む

基本的 式の証明と極限 1 x>0 のとき, x>10gx であることを示せ。 (2)(1) を利用して, lim 81X 10gx0 を示せ。 x CHART & SOLUTION 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 00000 (1)(x)=(左辺)(右辺) とし, f(x)>0 を示せばよい。 f(x) の増減表を作り, (最小値)>0 を示す。 基本 92 16 調べるの (2)(1)の不等式を利用して, logx を不等式ではさむ。 x 調べると 解答 (1)f(x)=√x-10gx (x>0) とすると CHART 1 f'(x)= 1 とすると 2√x x √x-2 2x 大小比較 差を作る f'(x) =0 とすると 今から x 0 ... 4 √x=2 f'(x) これを解いて 10 x=4 整理する 極小 x0 における f(x) の増減 f(x) > 2-log4 表は右のようになる。 x=3 さない。 x0 のとき f(x)=f(4)=2-1og4=loge2-104>0 とき す よって, x>0 のとき √x>10gx (2)x→∞について考えるから, x>1 としてよい。 このとき (1) から ← 2=2loge=loge2 また, 2<e<3である から4<e<9 - は 0<logx<√x あるから 値をと で、 各辺をx(0) で割ると 0<- logx < x x 1 Tin (r)-lim lim -= 0 であるから lim logx=0 x-00√x x→∞ x あること き常に INFORMATION する ←はさみうちの原理 mil x81 x logx 例題で証明した lim E=0 において 10gx =t とおくと x=eであり t x→∞ のとき →∞ であるから, lim =0 すなわち limax=0も成り立つ。 817 x400 この2つの極限はよく使われるので覚えておくとよい。 次ページも参照。 PRACTICE 94Ⓡ (1) 0<x<πのとき, 不等式 xCOSx<sinx が成り立つことを示せ。 (2)(1) の結果を用いて lim x-sinx x+0 x2 を求めよ。 [類 岐阜薬大]

数３微分 ここの極限ってなんで-∞になるんですか？ 計算しても0にしかなりません。画像2でどこを間違えていますか？

lim -2 ex 8118 88 ようになる。

（1）の矢印のところはどこから出てきたのですか?(2)では何故二つ範囲を出したのですか?出す必要はあったのですか?

遠心力に関係した身近なものとしては,洗濯機や遊園地のループ式ジェットコースターなどがある。 例題 33 鉛直面内での円運動 右図のような, 半径 [m] のなめらかな円筒面に向 けて、質量m[kg]の小物体を大きさ [m/s] の初速 度でなめらかな水平面からすべらせる。 重力加速度の 大きさをg[m/s] とする。 (1)鉛直線となす角が0の点(図の点C) を通過すると きの小物体の速さと面から受ける垂直抗力の大き 大 さを求めよ。 (2) 小物体が点Bを通過するための の条件を求めよ。 m Do O 基礎 物理 129 134 138 B C センサー 39 解答 (1) 点での小物体の速さを 円運動では,地上から見て 解くか、物体から見て解く かを決める。 [m/s] とすると, 力学的エネルギー 保存の法則より Bmgcoso N ① 地上から見る場合 遠心力は考えず,力を円の 半径方向と接線方向に分解 し、円運動の半径方向の運 動方程式を立てる。 v² m-=F または mrw²=F ② 物体から見る場合 遠心力を考え、力を円の半 径方向と接線方向に分解し、 半径方向のつり合いの式を 立てる。 どちらでも解ける。 センサー40 物体が面に接しているとき, 垂直抗力 NO (1) 水平面を重力による位置 エネルギーの基準面とする。 1 mu-mo+mg(r+rcos6) 2 2 ゆえに、 v= vo2gr (1+cos)[m/s] ....... ① 垂直抗力の大きさを N[N] とすると, 地上から見た円運動の運動方程式は, m-=N+mg cose r これに”を代入し、整理すると, 2 mvo N= -mg (2+3cos0) 〔N〕 r rcost0 mg 別解 小物体から見ると,円の半径方向にはたらく力は,実際 にはたらく力のほかに、円の中心0から遠ざかる向き に遠心力がはたらいている。 半径方向の力のつり 合いより, N+mg cose-m-00 (量的関係は上と同じ) r 等速円運動では、円の接線方向にも加速度があり、物体か ら見た場合、接線方向での力のつり合いを考えるためには,接 線方向にはたらく慣性力を考える必要がある。 (2) (1)より,00π[rad] では, 0が小さくなるにつれて, v, Nはともに減少していく。 点Bを通過するためには,点B でぃ> 0 かつN0 であればよい。 ①より, 0=0を”に代 入して, v= Vo 4gr よって, v4gr>0 ゆえに,vor 2 mvo また,②より0=0をNに代入して, N= 5mg r よって, ③ ④ を比較すると, V≧0(面から離れない条件) が ● の条件を決めることになる。 ③ ④がともに成り立つためには,vo gr V 2 mvo r - 5mg≧0 ゆえに、gr 9 9 円運動 7