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(1) √5は無理数であることを証明せよ.
(2) √5 が無理数であることを用いて, 3+2√5は無理数であることを証明せよ。
(1) √5 有理数であると仮定すると,
√5=9
(pg は互いに素な自然数)
とおける. 両辺を2乗して分母を払うと,
5p²=q²
......1
5p2は5の倍数だからも5の倍数である.
したがって, gも5の倍数となり,
g=5r (rは自然数)
とおける.
第3章 集合と命題
① に代入して,
これから,
p²=51²
5² は5の倍数だから、は5の倍数, つまり, かも
5の倍数となる.
したがって, p, gがともに5の倍数となりかとαが
互いに素な自然数であることに矛盾する.
よって, √5は無理数である.
(2) 3+2√5 が有理数であると仮定する.
rを右理粉として
5p2=252
157
結論の否定を仮定
「無理数でない」 は「有理数で
「ある」
「n²が5の倍数ならば、nも
5の倍数」 の証明は例題104
と同じようにできる. ここで
はその証明は省略する.
√5=1 とおけないので,
p
今