-
![]()
116
基本 例題 67
座標を利用した証明 (1)
△ABCの重心をGとするとき, AB2+BC2+CA2=3(GA2+GB +GC)が
成り立つことを証明せよ。
CHART & THINKING
y
基本 例題 68
p.112 基本事項
31
51
座標を利用した証明
座標を利用すると、 図形の性質が簡単に証明できる
場合がある。 そのとき、 座標軸をどこにとるか, 与
えられた図形を座標を用いてどう表すかがポイン
トとなる。 そこで, あとの計算がスムーズになるよ
うに、座標軸を定める
② 変数を少なく
A(x1, y₁)
B(x2,y2)
(x+y+xy+x+a)
C(x3,y2)
0 ↓辺BC をx軸上に。
y
★3点A(5,1
Dの座標を求
CHART &
「平行四辺形】
頂点の順序が
いことに注意。
形のパターン
Dの座標を求
2本の
A(x1,y)
(
1 0 を多く
くるように0 が多くなるようにとる。
1 問題に出てくる点がなるべく多く座標軸上に
O B(x2, 0) C(x3, 0)
を利用すると
もっとよい方法は?
2つの頂点を原点に関して対称にとる
解答
残りの頂点
— 変数の文字を少なくする。
これらをもとに, 点 A, B, C の座標を文字でどう表すかを考えよう。
直線 BC をx軸に,辺BCの垂直
理由?
←10を多く
二等分線をy軸にとると, 線分三二a,36)
BCの中点は原点0になる。
A(3a, 36), B(-c, 0), C(c, 0)
← ② 変数を少なく
G(33
平行四辺形
[1]
[1] 平
線分 D
したが
[2]平
線分
G(a,b)
とすると, Gは重心であるから,
01
A(a, b) とすると,
b
B
C
となり計算が
G(a, b) と表すことができる。
このとき
AB2+BC2+ CA2
={(-c-3a)+(-3b)2}+{c-(-c)}+{(3a-c)2+(36)2}
=3(6a2+662+2c2)
・①
(-c, 0)
O (c,0) x
少し煩雑。
した
両辺を別々に計算して
比較する。
[3] =
線分
GA2+GB2+GC2
={(3a-a)2+(3b-b)2}+{(-c-a)+(-b)2}
+{(c-a)+(-b)2}
=6α²+6b2+2c2
①② から
AB2+BC2+CA=3(GA2+GB2+GC2)
注意 更に都合がよくなる
ようにと, A(0,36)など
とおいてはいけない。この
場合, Aはy軸 (辺BCO
垂直二等分線) 上の点に
定されてしまう。
以上
PRACTICE 67°
(1) ∠ABCの辺BCの中点をMとするとき, AB'+AC'=2(AM'+BM)(中線定理)
が成り立つことを証明せよ。
(2)△ABCにおいて, 辺BC を 3:2 に内分する点をDとする。このとき,
3(2AB2+3AC2)=5(3AD2+2BD) が成り立つことを証明せよ。
P
