例題 125
2次方程式の解の存在範囲 (6)
方程式 3x2+(a+6)x-a+3=0の2つの実数解のうち,少なくとも1つか
-2<x<0 の範囲にあるような定数αのとりうる値の範囲を求めよ。
〔類 武庫川女子大]
例題12
指針 大きく分けて次のA, B の2つの場合があり, B では更に場合に分けて考える。
A-2<x<0 の範囲に,2つの解をもつ (重解も考える)。
B -2<x<0 の範囲に, ただ1つの解をもつ (重解は考えない)。
方程式の2つの実数解をα, β (α≦β) として、条件を図で表すと、次のようにな
[S] ® [3]
A [1]
110B[2]
B [4]
の分
a=-2
R
B=0
a
B
0か
-2 0x
BOx
-2 a
x -2
-2<a≤ẞ<0
α=-2<β<0
-2<α<0=β
-2<a<0<B
B X
a
a<-2
答案 f(x)=3x2+(a+6)x-a+3とする。
[1]2つの解がともに-2<x<0 にあるための条件は
y=f(x) のグラフがx軸の-2<x<0 の部分と, 2点で
交わる (接する場合も含む)ことである。
I-
よって,f(x)=0 の判別式をDとすると、次の (i)(iv) が
同時に成り立つ。
(i) D
(ii) f(-2)>0 (ii) f(0)>0 (iv) -2<<0
(i) D=(a+6)2-4・3(-a+3)=a²+24a +x
D≧0 から Da²+24a≥0
-2