(2)の(ii)の赤線部分から分かりません。詳しい途中式を教えて欲しいです。

問 170 第6章 順列・組合せ 102 階乗, P, nCr の計算 PC (1) 次の計算をせよ. 8!-6! ) 精講 (2) 次の式が成りたつことを示せ . (1) nCr=nCn-r (ii) nCr=n-1Cr-1+n-1Cr 10! 7! (i) 7P3 == r! (2) (i), (ii) } & 1² (iv) 6C4 (1) (i), (i) 記号 n! は 「nの階乗」と読みますが,これは, nx(n-1)x... ×2×1 とnから1までをかけることを表す記 号です.ただし,0!=1 と約束します. あま n! は 「異なるn個のものを並べる方法」 の総数を表します. (Pは「異なるn個のものから個のものを選んで並べる方法」の総数 を表す記号で, この総数は nx(n-1)x...×(n-r+1) と表せるので が成りたちます. n! nPr=- (n-r)! (iv) Cy は 「異なるn個のものから個のものを選ぶ方法」 の総数を表す 号で,個のものを並べる方法が! 通りあることを考えると すなわち,C,= n! が成りたちます. For r!(n-r)! 08

(3)の式の意味がわかりません。 教えてください。

(2) 4STEP 数学Ⅲ 170 第6章 微分法と積分法 109 面積(M) 精講 ….……..① を考える。 放物線y=az-12a+2 (0<a</2/2) (1) 放物線 ① がαの値にかかわらず通る定点を求めよ. (2) 放物線 ① と円 '+y2=16･････ ② の交点のy座標を求めよ. a=-のとき, 放物線 ① と円 ② で囲まれる部分のうち, 放物 線の上側にある部分の面積Sを求めよ. (1) 定数αを含んだ方程式の表す曲線が,αの値にかかわらず通る 定点を求めるときは,式を α について整理して, a についての恒 等式と考えます (37) (1)y=ax²-12a +2 より 20156 (2) 2つの曲線の交点ですから連立方程式の解を求めますが, y を消去すると zの4次方程式になるので,座標が必要でも,まずェを消去してyの2次 方程式にして解きます. (3) 面積を求めるとき,境界線に円弧が含まれていると,扇形の面積を求める ことになるので,中心角を求めなければなりません.だから,中心〇と接点 を結んだ線を引く必要があります。もちろん, 境界線に放物線が含まれるの で, 定積分も必要になります. 解 答 a(x²-12)-(y-2)=0 これが任意のαについて成りたつので [x2-12=0 ly-2=0 よって,①がαの値にかかわらず通る定点は (±2√3.2) [y=a.r²-12a+2① | x² + y²=16 **** x=±2√/3,y=2 数研出 <a について整理 (3) N

この積分ってこの2個目の写真の公式使ってますか？違うのならどんな風に解いているんですか？ 下にメモしたような置換積分しか思いつかないのですがなんか違う気がして…

別解x2)をひとまとめと考えると…..) JU [²xe-²¹dx=- - ₂² S (x²) e ²³ dx = -1² [₁²²] 2 10 2 ーズとおいて = 1/2 (1-1) + 2 = (-X) す dt= (x/dr fedt 第6章

(2)の赤線部分が理解できません。なぜa+b＝0になったのでしょうか？赤線の前の行までは理解出来ました。

基礎問 150 第6章 微分法と積分法 95 接線の本数 曲線C:y=x-x 上の点をT(t, ピーt) とする。 (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式 を求めよ.ただし,a> 0, b=d-α とする. (3) (2) のとき, 2本の接線が直交するようなa, bの値を求めよ. (2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、接点の個数と一致し ます. だから, (1)の接線にA(a,b) を代入してできるもの3次方 程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの 考え方は 94 注で学習済みです。 (3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します. 精講 1つは (2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」 を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数 (83)ですから、 2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります. 解答 (1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-12 よって, Tにおける接線は, KORZ y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t) ∴.y=(3t2-1)x-2t3 x M C (2) (1) の接線は A(α, b) を通るので b=(3t²−1)a-2t3 る ₂T (t, t²-t) =10152 Ex.31= a bett ∴.2t3-3at2+a+b=0....... (*) (*)が異なる2つの実数解をもつので、 g(t)=2t-3a2+a+b とおくとき, y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち, ( 極大値)×(極小値)=0 であればよい. 94 注 g'(t)=6t2-6at=6t(t-a) g'(t)=0 を解くと, t = 0, t=α だから g'(t) = (t (t-a) = 0 85 git g(土) y=x²-x Ň A(a,b) f x...? CASAS b (3) IKI HV 3次 すると ・余 ・C 演習問

（2）で、この問題でなぜ約数の中で偶数の個数を求める際に、 3×（2➕1）の式になるのか教えていただきたいです🙇

例題 158 約数の個数 **** (1) (a+α2)(bi+bz+b3+b)(c1+ C2+ c3) を展開すると、 異なる項は何 個できるか. (2) 200の約数の個数とその総和を求めよ. また, 約数の中で偶数は何 個あるか.ただし、約数はすべて正とする。 考え方 (1) (a1+a2)(b+b2+b3+64)(c+c+c3) たとえば、(a,+a)(b+b2+63+64) を展開してできる α・bı に対して aibi(c+cz+c3) の展開における項の個数は3個である. (a+a)(b+b2+bx+b) を展開するとき, a b のような項がいくつできるか考 えるとよい。 (2) 1か2か22か2×1か5か5 であるが, (1+2+22+23)(1+5+5²) を展開すると, 1×1, 2×1, 4×1, 8×1, 1×5, 2×5, 4 X5, 8 X5, 1×25,2×25,4×25,8×25 がすべて一度ずつ現れる. したがって, 約数の総和は,次のようになる. (1+2+4+8)×1+ (1+2+4+8)×5+ (1+2+4+8)×25 解答 =(1 +2 + 4 + 8 ) (1+5+25) 200=23×52 より 約数が偶数になるのは、1以外の2の約数を含むときであるか ら、2か22か2” を含む約数の個数を求めればよい。 (1) (a+α2)(b+b2+63+64) を展開してできる項 の個数は2×4 (個) である. また, (a2+az) (bi+b2+63+bx) の1つの項 arb, に対して、 arbi(ci++Cs) の展開における項の個数は3個である. よって、求める項の個数は, 200を素因数分解すると, (3+1)x (2+1)=12 (2) Focus より、約数の個数は, また、約数の総和は, 12個 2×4×3=24 (個) 200=23×52 (1+2+2'+2°) (1+5+5²)=465 また、偶数の約数は 2か2か23 を含むもの 3×(2+1)=9 より、偶数の約数の個数は, 9個 次の問いに答~マスター編~ 第6章 場合の数 数学A a2の2通り a, bi, bz, b, b4 の4通り 第58 (1) 600の約数の個数とその総和を求めよ。 C1, Cz, C3 の3通り |積の法則 1 2³ 約数の個数は、 素因数分解し,積の法則を利用する α'×b×c” の約数の個数は、 (+1)(g+1)(r+1)個 (α, b, cは素数) 22 2¹ 1 1·12·12·12·1 5' 1.5' 2'.5' 2.5 23.5' 52 1.5 2'･5² 2.52 23.52 偶数になるのは、1以外の 23 の約数を含むとき (2) 2250の約数の中で、偶数となるものの数とその総和を求めよ。今か.328)

(2 )なぜ自然長になった時、Aの速さもBと同じvになるのですか

うな関係式か (c) 小物体が斜面を下って静止するま その理由を説明せよ。 (d) Wi をm, vを用いて表せ。 また, x1 を v, g, μ'を用いて表せ。 [17 奈良女子大改] 小球A 小球B 123. 力学的エネルギーの保存 なめらか な水平面上に,一端を壁に固定されたばね定数 k [N/m〕 の軽いばねの他端に質量m[kg] の小 球Aが取りつけられていて, 小球Aに接して質量 3m[kg] の小球Bが置かれている。 水平面は,なめらかな斜面とつながっている。 AとBが接したままばねを自然の長さか らZ[m〕 だけ押し縮めた後,静かに手をはなしたところばねが自然の長さになった位置 でBはAから離れた。重力加速度の大きさをg 〔m/s'〕 とする。 (1) ばねを押し縮めるために加えた仕事 W 〔J〕 を求めよ。 (2) 小球Aから離れた直後の小球Bの速さv[m/s] を求めよ。 (3) 小球Bが離れた後, ばねの伸びの最大値x 〔m〕 を求めよ。 (4) 小球Bが達する最高点の水平面からの高さん 〔m〕 を求めよ。 [17 東京農大 改〕 119 [ヒント] 122. (2) 動摩擦力が重力の斜面に平行な方向の成分より大きければ減速する。 123.(3X4)Bが離れてからは,A,Bそれぞれ別々に力学的エネルギー保存則の式を立てる。 m m m m m m m m m m m 立てられた軽い る。 その板の上 自然の長さ 直上向きを正 け板を押し下 動き始めた。 を考える。 (1) このばね (2) 板と小現 ける垂直 (3) ある位 れる瞬 (4) 小球は 位置 ( ヒント

中3数学の接線の性質を使ったこの問題が答えが回答を見ると2cmとなっているのですが、何回計算しても7になります。どなたか途中式を教えてくれませんか？

128 第6章 円 7 右の図のように, AB=12cm, BC=13cm, CA=5cm, ∠A=90°の 直角三角形 ABCに円が内接している。 円 0の半径を求めなさい。 例題131 B A S Ar

解説も載せています なぜ垂直抗力を考えなくて良いのですか？

第6章 仕事と力学的 応用問題 119. 力学的エネルギーの保存 ばね定数k [N/m〕 の軽いつる 巻きばねの一端を固定し、他端に質量m[kg]のおもりをつるして, おもりを下から手で持った台で, ばねが自然の長さになるように支 える。重力加速度の大きさをg〔m/s'] とする。 (1) 台をゆっくりおろしていくとき, x 〔m〕 だけ下がった位置で台 がおもりを支える力の大きさ F〔N〕 を求めよ。 (2) おもりが台から離れるときのばねの伸びx1 〔m〕 を求めよ。 つりあい (3) はじめの状態で台を急に取り去った場合、 最下点でのばねの伸びx2 〔m〕 を求めよ。 (4) おもりの最下点について, x1 と x2 の差が生じた理由を述べよ。 ▶123 lllllllllll 01 -自然の長さ lllllllllll

(1)で何故、赤線部分(5P2)になるのでしょうか？

CES 基礎問 174 第6章 順列・ 104 倍数の規則 これから3枚を選んで並べることにより, 3桁の整数をつくる。 ①から⑥までの数字が1つずつかかれた6枚のカードがある. このとき、次のような整数はいくつあるか. (1) 2の倍数 (2) 3の倍数 (3) 4の倍数 (4) 6の倍数 |精講 000000 ある整数がどんな数の倍数になっているかを調べる方法は以下のよ うになります.これを知らないと問題が解けません。 2の倍数 : 一の位が偶数 3の倍数 : 各位の数字の和が3の倍数 ・4の倍数:下2桁が4の倍数 ・5の倍数 : 一の位の数字が0または5 . . ・6の倍数 : 一の位が偶数で,各位の数字の和が3の倍数 ・8の倍数 : 下3桁が8の倍数 9の倍数 : 各位の数字の和が9の倍数 ・10の倍数 : 一の位の数字が0 (1) 一の位が②, 4, 6 のどれかになるので,まず, 一の位から考えます。 (条件のついた場所を優先) (2) 3の倍数になるような3つの数の組が1つ決まると並べ方は3通りあり ます。 (3) 2桁の数で4の倍数であるものを1つ決めて、その左端にもう1つ数字を おくと考えます。 ト 13 BERSZI 解答 (1) 一の位の数字の選び方は2, 4, 6の3通りで,このおのおのに対 して百の位、十の位の数字の選び方は 5P2=5×4=20 (通り)(緑)

分子→0でなければならないの所がよく分からないのですが、なぜ分子が0にならなければならないのでしょうか？そして何故、「よって2a+b+4=0」になるのでしょうか？

なく 彡に が, 81 極限 ( ⅡI) 次の等式が成りたつような定数a,bの値を求めよ. x² + ax+b x-2 精講 lim 2-2 2a+b+4 0 となりますが、 「それでは6にならないじ ゃないか!!」 と思うのは早計. たった1つだけ可能性が残されてい ます.それは「不定形」 (80)です. だから 2a+6+4=0 となれ ば、6になるかもしれないのです. ただし, これは必要条件ですから, あとで吟 味をしなければなりません. lim 2 lim 2 →2のとき, 解 答 →2のとき,分母→0 だから,極限値が6になるためには,少なく とも→2のとき,分子→0でなければならない。不定形 よって, 2a+6+4=0 .. b=-2a-4 このとき、x2+ax+b=x2+ax-2(a+2) =(x-2)(x+a+2) =lim(x+a+2)=a+4=6 演習問題 81 x²+ax+b x-2 L=6 よって, a=2, b=-8 逆に,このとき x2+2x-8 x-2 ポイント lim x-2 =lim x-2 (x-2)(x+4) x-2 2-(a+b)x-2 12+(a-1)x-a 133 =lim(x+4)=6 となり,適する. x→2 3 ◆分子に x-2 をつく りにいく 不定形は極限値が存在しないのではなく, かくれてい る状態 となるような定数a, b の値を求めよ. 第6章