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進数, cba (8) は 8進数であるから
①
1≦a≦6,0≦b6c6......
条件から
よって
49a+7b+c=64c+8b+a
すなわち
アイ 48a-bーウエ63c = 0
48=24･3 と 63=327 の最大公約数は3であるから、この等式を変形すると
b=3(カキ16a-クケ21c) ...... ②
bは3の倍数であるから ① より
N=a・72+6・7+c,
N = c·82+6・8+α
[1] 6=0 のとき ② から
16a=21c
16と21は互いに素であるから, αは21の倍数であるが, 1≦a≦6 の範囲に
21の倍数は存在しない。
[2] b=3のとき ② から 16a=21c+1
16α は偶数であるから, 21c+1も偶数であり,cは奇数である。
よって, ① から
c=1, 3,5
c=1のとき, 16α=22 であるが,これを満たす自然数αは存在しない。
c=3 のとき, 16α=64 から
b=0, 3, 6
a=4
c=5 のとき, 16α=106 であるが,これを満たす自然数αは存在しない。
[3] b=6のとき, ② から
16a=21c+2
すなわち 21c=2(8a-1)
2 (8a-1) は偶数であるから 21cも偶数であり, cは偶数である。
よって, ① から c=2, 4, 6
c=2のとき, 8a-1=21 であるが,これを満たす自然数 α は存在しない。
c=4 のとき, 8a-1=42 であるが,これを満たす自然数 α は存在しない。
c=6のとき, 8α-1=63から a=8
これは ①を満たさない。
以上から a=4, b=3, c=3
したがって N=49・4+7・3+3=スセソ 220
の位に着目すると
(2) 右の割り算から N = タチツテ 1340 (5)
(3) 10N=2200 をん進法で表すと 4230(k) となるから
2200=4・k+2・k2+3・k+0
4k³<2200<5k³
5) 220
5) 44...
0
5) 8…. 4
5) 1…3
10･･･1
よって
440 k³<550
7°= 343,8°=512, 9729 であるから, 440 <<550 を満たす自然数は
k=8
2200 を8進法で表すと,確かに4230 (8) となるから
k=¹8
(4) 10N=2200=23・52・11 であるから 10N の正の約数は全部で
(3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24(個)
これらのうち、2の倍数は素因数2を1個以上含むものであり,その個数は
22･52･11の正の約数の個数と等しいから
(2+1)(2+1)(1+1)=3・3・2=ス*18(個)
4の倍数は素因数2を2個以上含むものであり,その個数は2・52･11の正の約
(1+1)(2+1)(1+1)=2・3・2=ノハ12 (個)
数の個数と等しいから
8の倍数は素因数2を3個含むものであり,その個数は 52･11の正の約数の個
(2+1)(1+1)=3・2=6 (個)
数と等しいから
また、10N のすべての正の約数の積M を2進法で表したとき,末尾に連続し
て並ぶの個数は, M を素因数分解したときの素因数2の個数と等しい。
10N の正の約数のうち, 2の倍数は18個 4の倍数は12個,8の倍数は 6個,
18+12+6= 7 ^ 36 (個)
16の倍数はないから, 求める個数は
(参考) 10N のすべての正の約数の積M を求めると
M=28・3・2+2・3・2+1・3･2・54・2・2+4・1・2・114・3・1=236.524.1112
▶Point
5k以上になると, k進法で表し
たときのの位が4にならない。
◄8) 2200
8275…..0
8) 34... 3
8)
4….2
0….. 4
