B
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基本例題125 余りによる整数の分類
nは整数とする。 次のことを証明せよ。 (1) 共立薬大, (2) 学習院大
(1) n²+2m²は3の倍数である。
指針
解答
すべての整数は、正の整数mを用いて,次のいずれかの形で表される。
mk+(m-1) (hは整数)
...,
mk, mk+1, mk+2, ....
L
CHART 整数の分類
余りで分類
(2) n²+n+1は5で割り切れない。
mで割った余りが 0 1, 2
そしてこの値は,問題に応じて決める。
(1) 「3の倍数である｣=｢3で割り切れる」 であるから､3で割ったときの余りを考える。
したがって, 整数全体を, 3k, 3k+1, 3k+2 に分けて考える。
(2) 5 で割った余りを考えるから, 整数全体を,5k, 5+1,5k+2,5k+3,5k+4
に分けて考える。
(1) すべての整数nは, 3k,
ずれかの形で表される。
n+2n²=n²(n²+2) であるから
[1] n=3kのとき
[2] n=3k+1のとき
[3] n=3k+2のとき
***
nª+2n²=9k² (9k²+2)=3•3k²(9k²+2)
$1+(18
n+2n²=(3k+1)^(9k²+6k+1+2)
=3(3k+1)^(3k²+2k+1 )
p.536 基本事項 2 重要 127, 128
で割った余りは0, 1, 2, , m-1
→
→ mk, mk+1, mk+2,......, mk+(m-1)
3k+1,3k+2 (kは整数)のい
3445
+37 +IV)S+E
m--1
よって
(2) すべての整数nは,5k, 5k+1
+2²は3の倍数である。
xer (D-
(複号同順)
として,3×(整数)の
n+2n²=(3k+2)(9k²+12+4+2になることを示すこと
=3(3k+2)² (3k² +4k+2)
できる。
13k-1, 3k,3k+1 と表
してもよい。 この場合、
3k+1と3k-1をまとめ
て 3k±1 と書き
5k+2.5 +3 56 +4
n²+2n²=n²(n²+2)
=(3k±1)²{(3k±1)²+
=(3k±1)^(9k²±6k+=
=3(3k±1)^(3k²±2k+
|すべて3×(整数)の
CA
15k-2, 5k-1, 5k,
