よ。
本 65
基本例 74 第2次導関数と等式
1) y = log(1+cosx) のとき,等式 y"+2eY =0 を証明せよ。
131
00000
自
(2)y=exsinx に対して, y”=ay+by' となるような実数の定数a,bの値を求
めよ。
[(1) 信州大, (2) 駒澤大]基本 73
指針第2次関数y”を求めるには、まず導関数を求める。また,(1),(2)の等式はとも
にの恒等式である。
(1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
またe-xで表すには,等式 elogppを利用する。
(2)y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる。 なお, 係数比較法を利用す
→
ることもできる。 ・解答編 p.94 の検討 参照。
(1)y=2log(1+cosx) であるから
2sinx
1+cosx
<logM = klogM
なお, -1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
_ 2{cosx(1+cosx)=sinx(-sinx)} | 1+cosx>0
解答
y' =2•
(1+cosx)
こでは
1+cosx
よって
y"=-
しょう
x2+3),
-12x)'
x)',
in 2x)
(1+cosx)
2(1+cosx) _ _ _ 2 ( Nhật
(1+cosx) [
== 1+cosx
また, Y = log(1+cosx) であるからex=1+cosx
2
ゆえに
2e2
2
2
=
y
1+cosx
よって y"+2e-1/2=-
2
2
+
=0
1+cosx
1+cosx
x+cos2x=1
elogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
3章
1 高次導関数、関数のいろいろな表し方と導関数
ga),
gay
anx
cos2y
g(x)をxで
・もの。
v'
(2) y=2e² sinx+ex cos x=e²x (2 sinx+cosx)
y=2e(2sinx+cosx)+e (2cosx−sinx)
=e2x(3sinx+4cosx)
......
①
ゆえにay+by=aesinx+be2x(2sinx+cosx)
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
y" =ay+by' に ① ② を代入して
2x
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
4=b
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
π を代入して
また,x=2
これを解いて
このとき
って
3e"=e" (a+26)
a=-5,6=4
(③の右辺)
4(e2)(2sinx+cosx)
+ex(2sinx+cosx)
参考 (2) のy"=ay+by'
のように、未知の関数の
導関数を含む等式を微分
方程式という(詳しくは
p.353 参照)。
③が恒等式 ③に
x=0,
を代入しても
成り立つ。
=e2x{(-5+2.4)sinx+4cosx)=(③の左辺) 逆の確認。
a=-5,b=4
[S][]
