線部分はKN＝じゃ無くてKL,KMでも大丈夫ですよね？

Check 例題 389 空間の位置ベクトル (3) 外 四面体OABCの辺OA の中点をK, 辺OB を 29 に内分する点をし、 辺CAを3:1に内分する点をM, 辺BC を 3:2に内分する点をNとす。 る。 OA=4,OB=6, OC =c とするとき, (1) KL,KM, KN をそれぞれà, , を用いて表せ。 (2)4点K,L,M,N は同一平面上にあることを示せ 考え方 (2) 4点K,L,M,Nが同一平面上にあるかどうかは, KN=sKL+tKM を満たす実数 s, tがあるかどうかを調べればよい。 1/2 b 解答 (1) KL=OL-OK=116-12a=-1a+ 3a+c 1→ KM=OM-OK= KN-ON-OK= (2) KN=sKL+tKM 2|53|5 ・① とおく. KL=0, KM≠0, KL× KM より,これを満たす実 数 s, tがあれば, 4点K, L, M, N は同一平面上にあ る. SUT FOGYA (1)より, 2_2 = +36 + 2 - 1 + 15) + (1+1) C=S ad, 60 ¥0 で, a, 6, く1次独立であるから, 両辺の係数を比較して |-12--2/+1 s+ t ·2 = 4 26+36 5 -S 11 4 1/a=1 ä+¹ c a+ 1→> 1/² à = - 1² à + ²/² 6 + ²³ c -a 4 =(-1/2s+1 t) à + ² sb + — tc st 11 AL1- ...... は同一平面上にな TOM+OBFOC watu tar ③ ④ より 3₁ @*), s=1/1²₁ t= 12 S=. 5 5 M SKL 9 [LA B 3-12 KM KM ar これは②を満たす. よって,①を満たす s, tが存在するので、4点K,L,KN-12R+ M. N は同一平面上にある. MOLTANTA と表される.

⑴のもんだいは、二枚目の写真のようにAに関する位置ベクトルと考えて、証明する方法でもいいでしょうか？ よろしくお願いします

384 基本事項 ② 角形を作り, 作りともの 符号で判断 ONOWE 基本例題2 ベクトルの等式の証明, ベクトルの演算 次の等式が成り立つことを証明せよ。 AB+EC+FD=EB+FC+AD ta (2) (7) x=2a-36-c, y = -4a+56-3Cのときx-yをこで表せ。 4x3a=x+65 を満たすxをaで表せ。 (ウ) 3x+y=a, 5x+2y=を満たすx,yをa, 言で表せ。 織 (1) ベクトルの等式の証明は,通常の等式の証明と同 じ要領で行う。 ここでは, (左辺) - (右辺) を変形し て=0 となることを示す。 ベクトルの計算では,右の変形がポイントとなる。 (2) ベクトルの加法.減法,実数倍については,数式 と同じような計算法則が成り立つ。 (ア) x=2a-36-c, y=-4a+5b-3c のとき, p.384 基本事項 ② 3 合成 P+QPQ. □Q-P=PQ 分割 PQ=P+. PQ=□Q-□P 向き変え PQ=QP PP=0･･･ 同じ文字が並ぶと x-yをa,b,c で表す要領で。 (イ) 方程式 4x-3a=x+66 (ウ) 連立方程式 3x+y=a, 5x+2y=b を解く要領で。 387 1章 1 ベクトルの演算

ベクトルの問題です。 ベクトルOQを【ベクトルaとベクトルbで表したい】のですが、ベクトルOPまでは求まりました！ 解説の黄色い部分の式が成り立つのはなぜですか？ ベクトルOQがkを使って表せることは分かっています。

<解説 ≪交点の位置ベクトル, 垂直条件, ベクトルの大きさ≫ (1) BP PM=入 (1-入) より OP = AOM + (1-入) OB 入 =12/2+(1-2)()()) 3点O,P,Qは一直線上にあるから OQ=kOP ==—= kaa+k(1-2) 6 (125) 1 b は実数) 点Qは辺AB上の点だから k+k(1-2)=1 k入+2k(1-入)=2 (2入)k=2 .. k 2 2-X 立 (: 0<^<1) M/- iP @ №b B

数b ベクトル　点Pの存在範囲 AP=8/7×-2AB+7AB+3AD/8でやるとできませんか？模範解答はb、c、dの順番ではなくb、d、cの順で書いてあるのですがなぜでしょうか。質問の意図がわからなかったらすいません💦教えてくれるとありがたいです。

28 [改訂版青チャート数学B 練習58] 四面体ABCD に関し, 次の等式を満たす点Pはどのような位置にある点か。 AP +2BP-7CP-3DP=0 AP + 2 ( AP- AB) - 7 (AP - AC²) - 3 (AP² - AD²) = 0 AP + 2 AP-2AB-7AP +7AC²-3AP + 3AD² = 0. -7AP = 2 AB²-7AC² - 3 AD² AP= -2AB+7AC +300 ク = をFとすると、点Pは、線分AFを11:1に内分 点E!線分EDを65に内分 する点 T.X = 2/1 + 2AB47AB+3AD' -2AB²47AB² 5 5 x. + BAD 8 BDを3:2に内分する点をE、CEを1に内分する点をF. とすると、点Pは線分AFを8:1に外分する位置にある。

数Bベクトル この問題の解き方はしっかり分かっているのですが類似問題でいつもs-1:sと取るところがどこなのか平行四辺形だと分からなくなります。 三角形だったらわかるのですがどうやって平行四辺形で見つけるのですか？

基本例題 36 交点の位置ベクトル (2) 平行四辺形ABCD において、辺ABの中点をM, 辺BC を 1:2に内分する点を E, 辺CD を3:1に内分する点をFとする。 AB=1, AD=d とするとき 線分CMとFE の交点をPとするとき, APをも,で表せ。 (2) 直線 AP と対角線BD の交点を Qとするとき,AQをも,で表せ。 基本 24, p.433 基本事項 [2] 指針 (1) CP:PM=s : (1-s), EP: PF=t: (1-t) として, p.418 基本例題24 (1) と同じ要領 で進める。 交点の位置ベクトル 2通りに表し係数比較 (2)点Qは直線AP上にあるから, AQ=kAP (k は実数) とおける。 点 Q が直線BD上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1 (係数の和が1) 解答 (1) CP:PM=s: (1-s), EP: PF=t: (1-t) とすると AP=(1-s)AC+sAM=(1-s) (+2)+1/26 =(1-12/2)+(1-s) AP=(1-1)AE+tAF=(1-1)(b + ¹² à) + t(à + — b) =(1-21)+1+2+ 3 b±0, à±Ò, b×ã ch 3D 5 1-12-1-221, 1-s=1+21 6 よって s=1/13,11/13 ゆえに AP= 1/326+1/23a t= (2)点Qは直線 AP上にあるから, AQ=kAP (k は実数) と 10 7 *₂7_ AQ=k(16+1 3d) = 13 kb + 1/3 kd よって 13 I点Qは直線BD上にあるから ゆえに k= 13 17 10 7 13k+ 13 k = 1 したがって 3=1/6+17/7/20 a M B1E S P à D の係数を比較。 (係数の和) = 1 1 F 3 437 AQ-1/2kAB+ /13 AAD 13 1章 5 ベクトル方程式

解説8行目で、ADが{a/(a+c)}cになるのが何故だか分からないので教えてください🙇🏼‍♀️

68 00000 重要 例題 36 三角形の内心を表す複素数 異なる3点O(0),A(α),B(β) を頂点とする △OAB の内心をP(z) とする。 このときは次の等式を満たすことを示せ。 TOADET A 指針> 三角形の内心は,3つの内角の二等分線の交点である。 次の 「角の二等分線の定理」 (*)を利用し,∠0 の二等分 線と辺 AB の交点をD(w) として, w を α, βで表す。 (*) 右の図で OD が △OAB の ∠O の二等分線 ⇒ AD:DB=0A:OB AD: DB=OA: OB=α:b ゆえに よって 解答 OA=|α|=a, OB=||= b, AB=|ß-α|=c とおく。 また,∠AOB の二等分線と辺AB の 交点をD(w) とする。 [Bla+α|β 九州大] 2= 40 次に、△OAD において,∠Aと二等分線 AP に注目する。 以上のことは,内心の位置ベクトルを求めるときの考え方とまったく同じである。 「改訂版 チャート式基礎からの数学ⅡI + B 」 p.422 参照。 ba+aß であるから w= a+b Pは∠OAB の二等分線とOD の交点であるから すなわち 2= 2= |a|+|B|+|Ba| RA0A a+b a+b+c ・W= OP: PD=OA: AD=a: ( a + bc) = (a + b) : c a ? OP:OD=(a+b):(a+b+c) a+b a+b+c Bla+TatB |a|+|B|+|β-α| A(a) 始ま ba+aß a+b OP = a 10P1 1001 P(z) HOROS b ba+aß a+b+c 0 O 2 D D(w) bB(B) 角の二等分線の定理。 to A 【絶対値が付いたままでは扱 いにくいので、a,b,c と おいた。 'P これより,Pは線分OD を (a+b):cに内分する点で あるから c.0+(a+b)w z=a+b+c としてもよい。

このARベクトルってどうやって出したのですか？

AB, AC を 四角形 イ [静岡] 基本事項 3 は [千葉工大] 条件 ) 位置ベクト tから ", t: (1-t) であるから +tc -t) MN かつ して (z+3)) -10= -4k, よい。 Tea とすると とき,x, e) 立教大] 共線条件 (2) 平行六面体 ABCD-EFGHにおいて, 辺AB, AD を 2:1に内分する点をそれぞ 単行六面体の対角線AG は APQR の重心 Kを通ることを証明せよ。 Q とし, 平行四辺形 EFGH の対角線EGを1:2に内分する点をRとする 基本60 InP, 61 例題 > AGはKを通る 3点 A, G, K が一直線上にある ⇒AG=kAK となる実数がある まず,点Aに関する位置ベクトル AB, AD, AE をそれぞれ,d,e として表現を簡単 に), AG, AK をdeで表す B=1, AD=d, AÉ=e とする。 AP=1-6, AQ=3 d AG=b+d+è ①から AR-2AE+AG__b+d+3e 3 3 ゆえに APQR の重心K について AK=— (AP+AQ+AR) H d ゆえに D 2 = ² ( ² 5 + ²/² d + ³ + d + ³ ² ) _ = ² E b+d+e 3 10.②から AG=3AK したがって,対角線AGは△PQR の重心K を通る。 1 (検討) 上の例題において、辺AB, AD, 線分GE を (1-t) (0<x<1) に内分する点を,それぞれP, Q, R とすると AP=tb, AQ=td また、AG=+d+eから AR=tAĒ+(1¬t) AG=të+(1−t)(b+ã+è) =(1-t)(b+d)+e F ER: RG=1:2 ADDA →だから根を求めた」 B AK={}-{tb+tã+(1−t)(b +ã)+è}={}(b+ã+ë) よって AG=3AK 「したがって, tの値に関係なくAGは△PQR の重心K を通る。 1,2は1次独立。 AP: PB=2:1 AQ: QD=2:1 H 1-t R E 結局, 点Kは△BDE の重 心である。 D 1-t 習 961 き, 4点A, P, Q, G は一直線上にあることを証明せよ。 475 SK 7/10 34 3 ∙t B 29 位置ベクトル、ベクトルと図形 2章 平行六面体 ABCD-EFGH で ▲BDE, CHF の重心をそれぞれP Q とすると

数B空間ベクトル (2) の線で引いたところがイコールになるのはどんな変形をしていますか？

位置ベクトルと内積 なす角 重要 例題 59 1辺の長さがαの正四面体 ABCD において, AB=1, AC=c, AD=d とする。 辺AB, CD の中点をそれぞれ M, N とし,線分 MN の中点をG, ∠AGB=0 と する。 (1) AN, AG, BG をそれぞれ, c で表せ。 (2) GAP, GA・GB をそれぞれα を用いて表せ。 指針 (1) 中点の位置ベクトルの利用。 (2) |GA|=|AG|=AG•AG, GA・GB=AG･BG (1) の結果を利用して計算。 (3) GA・GB=|GA||GB|cose であることに注目すると |GA|=|GB| よって, ① は GA･GB=|GA | cos 0 となるから, (2) の結果が利用できる。 解答 (1) AN=1/12(c+d) BG=AG-AB=-(-36+c+d) (2) 16|GA|=|4AG|²=(b+c+d)·(b+c+d) AG=1/12(AM+AN)=1/11/1235+1/12(c+d)}=1/28(6+c+d) = 16+|+|a³²+2(b⋅c+c•à+à.b) =3a²+2×3a²cos 60°=6a² 16GA-GB=4AG•4BG=(b+c+d)•(−3b+c+d) ·−3|b1²+|c²²+ |āl²-2b-c-2b-d+2c-d =-a²-2a²cos60°=-2a² よって (3) AM=BM, AN=BN であるから ゆえにIGA = GBであるから |GA=22α, GA-GB=-- ここで, △ABN は AN=BN の二等辺三角形 a² 8 AB MN GA-GB=|GA||GB | cos0=|GA | cos ゆえに a² (2)から2012/23acost -a² 8 8 (3) cose の値を求めよ。 [類 熊本大] 基本50 cos0= 1 3 B' M A C ä として計算。 40= <|AN|=|BN|= (GA・GB = - ◄|6|=|č|=|ã|=a †5 b·c=c∙d=d.b D N =a² cos 60° 分数の計算を避けるため、 4AG=6+c+d, 4BG=-36+c+d a² √√3 a 473 8' |Gó²=a² ±¤Ã. 2章 9 位置ベクトル、ベクトルと図形

答えのマークした部分がわからないです😭 解説お願いします🙇🏻‍♀️💦

Practice 43 ***** 0 <t<1 とする。 平行六面体OADB-CEGF において, 辺 DGを2に内分 する点をP, 辺 OC を t: (1-t) に内分する点を Q, 直線 OP と平面 ABQと の交点をRとし,OA=d, OB=6,OC=2 とする。 [類 17 山口大〕 (1) OR をd, , c, tを用いて表せ。 た a, b, (2) 点Rが三角形ABQ の重心と一致するとき,t の値を求めよ。 88===X ベクトル

蛍光ペンで引いている部分が分かりません。 OAベクトルとOPベクトルの内積が6−Sと表せるのはなぜですか。

★234 平面上において, 原点Oと2点A(1, 1), B(2, 1) に対して, ベクトル OP=sOA+tOB を考える。 定数sとtが条件 0≦s, 0≦t, s+t=2 を満たしながら変わるとき, 点Pの描く図 形を図示せよ。また,内積 OA･OP の最大値と最小値を求めよ。 [13 信州大 ・ 改]