答え合わせしてください🙇‍♂️

115/3 が無理数であることを用いて、 次の数が無理数であることを証明せよ。 11+3が石理散と仮定する その有理数をとをすると -1-1 「が有理数のをきと一1は理がであるかう この常求は作がが無理数であることに備する よってしけ何は無理数である。 1215-5 3 っ23 213を理故と仮室する その有理数をむとすると 2-13-6 -13ニr-2 13こ2ー1 r がが有理数のとさ2-1はカ理数であるから この異求は何が悪理数であることに予脂する よって2-V3は無理数である ゆスにつナなは無理数である 2 3。

数1の背理法の問題です。 16番のときかたがわかりません。よろしくお願いします。

例題 2 'a+b/2 =0 を満たすならば, b=0 であることを証明せよ。 2が無理数であることを用いて,有理数a, bが 考え方 命題「a+b/2 =0→b=0」が成り立たない, すなわち, 偽である 15 とは,「a+bV2 =0 を満たすが, b=0 を満たさない」例が存在する ことである。 証明 12=- となる。 a+by2 =0, bキ0 と仮定すると, ニー 6 a, bは有理数であるから -も有理数となるが, これは、/2 6 が無理数であることに矛盾する。 よって, b=0 である。 細定」 例題2において, b=0 を a+b/2=0 に代入することにより, a=0 が導かれる。 x, yを有理数とする。例題2の結果とその補足を用いて, 25 (3x+y-1)+(x-2y-5)、/2=0 のとき, x, yの値を求めよ。 IDp.149回, p.151 3. 集合と命題 ク

この問題の解き方と答えを教えてください！

4 解答時間 A 8分 (1) 二つの自然数a, b が互いに素であれば, a+b と ab も互いに素である. このことを証明しよ う、次のアコ~ カに最もよく当てはまるものを, 下の0~⑤から一つずつ選べ.た だし、同じものを何回選んでもよい。 a+ とab が共通の素数pを約数にもつとする、 b が ア であるから、「@が イコ」または 「b がウ である。 金が のとき、@+b がゅの倍数であるから、 6は あが のとき、+あ がゅの倍数であるから, a は である。 である。 オ いずれにしても、αとるが であることに反する、 以上より、二つの自然数e、 が互いに素であれば、 a+b と ab も互いに素である。 の pの倍数でない整数 6最小公倍数 O 互いに素 、 0 pの倍数 無理数 最大公約数 (2) 二つの自然数 A, B (A<B) があり, それらの和は216,最小公倍数は630 である、 A とB を求めよう。 AとBの最大公約数をgとし,A= ga, B=gb とおくと, aとb は互いに素な整数である、 したがって,(1) より a+b と ab も互いに素な整数であるから, 与えられた条件より, g=|キク]であることがわかる。 よって、a+b=|ケコ ab =| サシ|となるので, A=| スセ B=|ソタチ|である。

この問題を解くコツってありますか？普通の「x＝2はx²－5x+6＝0であるための？？」っていう感じのはわかるんですが、この問題のように反例をがんばって考えないといけないときなかなか思いつかなくてわかりません

212 実数 a, bに関する条件0, q, rを次のように定める。 p:a+bは無理数である 9:abは無理数である r:a, bはともに無理数である コの中は, 「必要条件であるが十分条件ではない」, 「十分条件であるが 必要条件ではない」, 「必要十分条件である」,「必要条件でも十分条件でもな い」のうち,それぞれどれが適するか。 (1) 「かかつq」 はrであるためのコ。 (2)「かまたはq」はrであるための (3) 「かかつr」はqであるための 次の O

写真のマーカー部分がよく分からないので詳しく教えていただきたいです。

例11 ¥2 は無理数であることを証明しよう。 12 は有理数であると仮定して, n V2 ニ m とおく。ただし, m, nは自然数とする。 V2m = n の両辺を2乗すると 2m? = n? を得る。いま, m, nを素因数分解したときの素数の個数を それぞれ s, tとすると, (*) の左辺, 右辺を素因数分解し たときの素数の個数は, それぞれ 2s + 1, 2t となる。 奇数 と偶数が一致することはないので, それは矛盾である。

なぜaとbは自然数なんですか？

75 基本例題 43 V3 が無理数であることの証明 命題「nは整数とする。 n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である」は真で ある。これを利用して, V3 が無理数であることを証明せよ。 を証 基本 42 23,44 CHART SOLUTION 直接がだめなら間接で 背理法去 V3 が無理数でない (有理数である)と仮定する。このとき, V3=r (rは有理 数)と仮定して矛盾を導こうとすると, 「/3=r の両辺辺を2乗して, 3=r」とな 証明の問題 2章 り,ここで先に進めなくなってしまう。 そこで, 自然数a, bを用いて 13= 6 (既約分数)と表されると仮定して矛盾を導く。 解答 日/3 が無理数でないと仮定する。 このとき/3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約数 合既約分数:できる限り 約分して, aとbに1以 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 a, bの最 大公約数が1であるとき, aとbは互いに素である という(数学A参照)。 をもたない2つの自然数 a, bを用いて, V3=D と表される。 a=V36 α=36° よって, α'は3の倍数である。 ゆえに 両辺を2乗すると の 36) αが3の倍数ならば, aも3の倍数であるから, えを自然数と 下線部分の命題が真で あることの証明には対 偶を利用する。 は して a=3k と表される。 これをOに代入すると 9=36° すなわち 6°=3k? よって, 6°は3の倍数であるから, bも3の倍数である。 ゆえに, aとbは公約数3をもつ。 これは, aとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。 したがって, V3 は無理数である。 INFORMATION 例題で真であるとした命題「n°が3の倍数ならば, n は3の倍数である」の逆も真で ある。また, 命題「n°が偶数(奇数)ならば, nは偶数(奇数)である」および, この逆 も真である。これらの命題が真であること, および逆も真であるという事実はよく使 われるので, 覚えておこう。 PRACTICE …43°円 命題「nは整数とする。 n'が7の倍数ならば, nは7の倍数である」は真である。 こ 論理と集合」

無理数ってなんですか？ それと答えも教えてください！

(6 無理数であるものを, 次のア~オからすべて漏べ 1 ウ T 3 ア 0.7 イ エ 10 オ-149

数学の質問です。 背理法を用いる時に問1(1)などのように有理数だと仮定する数字をmなどの１つの文字で証明していく場合や、問2のようにm/nで証明する場合があると思います。 どうやってみわければよいのでしょうか？

西え:別冊31ページ 不 次の問いに答えなさい。 100 a>0 (1) 15 が無理数ならば, 1+V20は無理数であることを証明しなさい。 1) 不 (2) /6 が無理数ならば, V3-V2は無理数であることを証明しなさい。 2 15が無理数であることを証明しなさい。ただし, 整数 n について, n'が 5の倍数ならば, nは5の倍数であることを用いてもよいものとします。 8 10分) (1 (3 7.r-10 (3.r-2)(x+2) に,定数 a, bの値を定めなさい。 等式 a がェについての恒等式となるよう ニ 3.c-2 2+2 10分

左側が問題、右側が回答です。 四角3番の(1)②の回答の式変形で±の符号がどのように変化しているのかがわかりません。教えてくだい。

(2) のは,結論の方が式が立てやすいので, 対偶を証明するとラクである。 を有理数と仮定すると, /2 は既約分数(p. qは整数, pキ0) と表せる(とく より p, qは自然数としてよい)。 このとき p, qは互いに素であるから、このこと 第1章 数と式, 問題させ、 第1章 数と式,集合と論理 3背理法 Lv.★★★★V の 第1回 解答は12ページ 考え方 2 は既約分数 p は整数, pキ0)と表せる(と を証明す 1 Lv.★★★ れ=1 2 を有理数と仮定すると, 9 = 3 次の問いに答えよ。 (1)a+6°+c° =1をみたす複素数a, 6, cに対して, x=a+b+cとおく。 このとき, ab+ bc+caをxの2次式で表せ。 2) a°+6°+c°=1, α+が+c°=0, abc = 3をすべてみたす複素数aん cに対して, x=a+b+cとおく。このとき,xー3x の値を求めよ。 て矛盾を導こう。 よって、 対偶 Process 解答 (1) ① 12 が有理数であると仮定すると V2= (ただし, pとqは互いに素な自然数) (早稲田大) 「N2は有理 Y/0 2 Lv.★★★ 解答は13ページ p と表せ と表せる。両辺を2乗すると にあてはまるものを, x, yを実数とする。下の(1), (2 )の文中の 次の(ア),(イ), (ウ), (エ)の中から選べ。 2= が 「分子は開散。 右辺に →= 2が 右辺は偶数であるから, q° は偶数,すなわち, qgも偶数である。 よって、q=2q' (g'は自然数) とおけて 2p= (2g)°=→ が3D2q'° がは偶数であるから, pも偶数である。すなわち, pもqも 偶数となり,pと qは互いに素であることに矛盾する。 したがって,仮定は誤りで, V2 は無理数である。 (証終) 2 aが有理数であると仮定すると りuも (ア)必要条件ではあるが,十分条件ではない。 (イ)十分条件ではあるが,必要条件ではない。 (ウ)必要条件であり,かつ, 十分条件である。 (エ)必要条件でも, 十分条件でもない。 本 よっ 「分母は偶数」 は 「分子と分はなわ に矛盾 とに) (1)x+y?<1は, -1<x<1であるための (2) -1<x<1かつ-1<y<1は, +y°<1であるための し 「aは有理数 (関西大図) 『=+(ただし、 sとtは互いに素な自然数) 3 Lv.★★★ 20 と表せる。aは α+α+1=0をみたすから いと 解答は14ページ を背 (+)+キ+ ニ=ーts±) (複号同順) 背 1=0→ t 与式に代入 次の各設問に答えよ。 (1)0 V2 が無理数であることを証明せよ。 ② 実数αがα+α+1=0をみたすとき, aが無理数であることを 証明せよ。 (2)0 nを自然数とするとき, n°が3の倍数ならば, nは3の倍数に なることを証明せよ。 ② ¥3が無理数であることを証明せよ。 国のせ さ すそ 理数 右辺は整数であるから, 左辺も整数でなければならず, s, tは 互いに素な自然数であるから、 t=1である。 よって、(*)より 00 土s°土s+1=0 → s(s°+1)3D1 sは自然数なので, sZ1, s"+1>1であるから(左辺)>1 となり、(右辺)= ±1に矛盾する。 (複号同順) 式を変形し、 したがって、仮定は誤りで、 αは無理数である。 (2) 0 対偶 (明治大) (証終) 8 14

分かるところだけで良いので解き方教えてください！

1 2+3 を計算しなさい。 2 (-35a)+(一7) を計算しなさい。 3 x+3y-2(x+y) を計算しなさい。 b 1 をaについて解きなさい。 4 a 等式 14 7 5 (2x+1)" を展開しなさい。 吹のア,イ,ウ, エのうちから, 無理数であるものを1つ選んで, 記号で答えなさい。 ウ (4 6 1 ア 3 エ (8 イ-2 7 右の図のような正多角形の1つの外角の大きさを求めなさい。 8 比例式 4: 9=x:(2x+6)について, xの値を求めなさい。