重要 例題119 等式α+6=c' に関する証明問題
指針>「少なくとも1つ」 の証明 では, 間接証明法(対偶を利用した証明, 背理法)が有効
cは整数とし、α'+b=c° とする。a, bのうち, 少なくとも1つは3の
6が13のに
数であることを証明せよ。
基本11
る。ここでは,背理法を利用した証明を考えてみよう。
「a. bのうち,少なくとも1つは 3の倍数 である」 の否定は,
「a, bは ともに3の倍数 でない」であるから,
a=3m+1, 3m+2; b=3n+1, 3n+2(m, nは整数) と表される。
よって, a, bがともに3の倍数でないと仮定して, α'+6°=c°に矛盾することを導く。
さ
CHART
の倍数に関する証明なら, ●で割った余りで分類
解答
CF
4, bはともに3の倍数でないと仮定する。
このとき, a', 6°は
ケ
(3k+1)=3(3k2+2k)+1,
(3k+2)°=3(3k°+4k+1)+1
のどちらかの式のkに適当な整数を代入すると, それぞれ表さ
(a=3m+1, b=3n+2など
の場合をまとめて計算。
ち 会
S十n ーn [1]
[O の理由] =n I9)
れる。 き(a=)+
3°+2k, 3k?+4k+1 は整数であるから, 3の倍数でない数 a,
6の2乗を3で割った余りはともに1である。+
したがって, a'+6°を3で割った余りは2である。
一方,cが3の倍数のとき, c? は3で割り切れ,
cが3の倍数でないとき, c'を3で割った余りは1である。
すなわち, c' を3で割った余りは0か1である。
0, 2 はa+6=cであることに矛盾する。
ゆえに, α'+6°=c? ならば, a, bのうち, 少なくとも1つは (在右辺)33の余りは0, 1と
3の倍数である。
おゅ (3K+1)+(3L+1)
=3(K+L)+2
(K, Lは整数)
の
▲(から。お+
の
1(左辺)33の余りは2
なっている。
注意 「平方数を3で割った余りは0か1である」(上の②) も, 覚えておくと便利である。
(平方数 とは,自然数の2乗になっている数のこと。)
