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数と式を中心にして
10 不等式の証明
[1] (1)a>0,b>0のとき, 不等式(a+b)(a3+b^3)≧(α2+62)2 が成り立つ
ことを示せ .
(2)a>0,b>0,c>0のとき, (1) の不等式を利用して,
不等式 (a+b+c)(a+b+c)=(2+2+2)2が成り立つことを示せ。
[2] a,b,c を実数とする.
(1) 不等式 3(a²+b2+c^2)≧ (a+b+c)2 を証明せよ .
(2) 不等式 27 (a+b+c)=(a+b+c)^ を証明せよ.
(解答)
[1](1) (a+b)(a³+b³)— (a²+b²)² = (aª+ab³+a³b+b¹) — (aª+2a²b²+b¹)
(2)
まず, (大)(小)を
設定する
[2] (1)
したがって,
が成り立つ.
=a³b+ab³-2a²b²
=ab(a²+62-2ab)
=ab(a-b)20
(a+b+c)(a+b+c²)-(a²+62+c2)2
={(a+b)+c}{(a3+b3)+c3}-{(a²+62)+c2}2
(a+b) (a³+b³) ≥(a²+b²) ²
したがって
が成り立つ.
=ca(c-a)2+cb(c-b)2≧0
=(a+b) (a³ + b³)+(a+b)c³+(a³+b³)c+c¹-(a²+6²) ²-2(a²+b²) c²-c²
≥(a²+b²)²+(a+b)c³+(a³ + b³) c+c¹-(a²+6²) ²-2(a²+b²) c²-c²
3(a²+62+c2)-(a+b+c)2
=(a+b)c3+(a3+b3c-2(a²+62)c2
=c{(a+b)^2+(a3+b3)-2(a²+62)c}
=cla(c2+a²-2ac)+b(c2+b2-2bc)} a>0, b>0, c>0 V,
ca>0, (c-a)² ≥0,
cb>0, (c-b)≧0,
a>0, b>0 £,
である
(a+b+c) (a³ + b³ + c³) ≥(a²+b²+c²) ²
=2a²+262+2c²-2ab-2bc-2ca
(青山学院大/学習院大)
であるから,
=(a−b)²+(b-c)²+(c-a)² ≥0
したがって,
まず, (大) (小) を設定する
=3(a²+b²+c²)-(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca)
ab> 0, (a-b)2≧0
3(a2+b2+c^2)≧(a+b+c)²
=(a²-2ab+b2)+(b²-2bc+c^²)+(c²-2ca+α² )
ab(a-b) 20
まず, (大) (小) を設定する
この変形が大切である
