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重要
150
114 接線に関する軌跡
lとし,その交点をRとする。 l と l2 が直交するように2点P,Qが動くとき,
放物線y=x2上の異なる2点P (p, 2), Q(g, q2) における接線をそれぞれ l,
点Rの軌跡を求めよ。
基本 110
2点P,Qにおける接線の方程式をそれぞれ求め,それらを連立方程式として解くと,
交点R の座標 (x,y) が求められる。 x, yはつなぎの文字 gの式で表されるから、
pg を消去する方針で進める。
181
その際,2直線が垂直
解答
接線の傾きをm とすると,その方程式は
y=(x-p) すなわち y=m(x-p)+p2
これとy=x を連立して x=(x-p)+p2
整理すると x2-mx+mp-p=0
この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-m)-4(mp¯p²)=(m−2p)²
接するとき, D=0であるから (m-2p)=0
よって
点Pにおける接線でx軸に垂直なものはないから,
(傾きの積)=-1 を利用する。
P(カッカ) Q(g,g2)
3
10
l2
ふつうに
R
(x.)
x
章
18
微分
m=2p
したがって, l の方程式は
すなわち
y=2px-p2
y=2p(x−p)+p²
①
同様にして, l2 の方程式は =2gx-q2
交点R の座標 (x, y) は, 連立方程式 ①,②の解である。
を消去して整理すると 2(p_q)x=(p+g) (b-g)
p+g
pgであるから
&c=
2
販
0=S-
これを① に代入して
y=2p
ptg-p=pa
20-1
ここで, l⊥l2 から
2p･2q=-1
よって, pq=
から
y=-
③
4
4
逆に,
(*)
* ③ が成り立つとき,pg を2解とする 2次方程
式2-2xt-
=0 の判別式をDとすると
1
D'
よって D'0
4
①でをgにおき換え
る。
参考 後で学習する微分法
(第6章) を用いると, 接線
の方程式をより簡単に求め
ることができる ( 解答編
97 の 参考 を参照)。
(*) 逆の確認。
直線 y=-21 上の任意
の点から、必ず接線が2
本引けることを確認して
いる。ここで, pg を2
解とする2次方程式の1
p+g=2x,
ゆえに、任意のxに対して実数pg (p)が存在する。
b=-1/2 から
4
したがって求める軌跡は
直線y=
==
21 (0
12-2xt-
=0
大事
