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全戦問題4/ 2次方程式の有理数の解
の整数とする。xの2次方程式 2x-5nx +2n°-11 = 0…(*) が有理数の解をもつとき, 正の整数 nの値およびそ
n
のときの有理数の解を求めてみよう。
この2次方程式の判別式をDとすると,D=
ア
|n°+イウ」であり,Dはnの値にかかわらず正の値をとるから,方
エ
n土、
オ
2+[カキ]
程式(*)はつねに異なる2つの実数解 x=
とって、方程式(*)が有理数の解をもつとき, 0以上のある整数kがあって
-の式は(k+ケ)(k-_ケn) 3Dカキ]と変形でき,k+ケ
式(*)が有理数の解をもつときの正の整数nの値は
をもつ。
オ
|n°+[カキ]=Dk°とおける。
|n, k-| ケ
|nはともに整数であるから,方程
または
サ
(ただし,
n =
サ
n=
コ
とする。)
である。さらに,そのときの有理数の解はそれぞれ
ス
のとき
|タチ
n=
コ
x=
サ
のとき x=ソ
n =
セ
ツ
である。
A
解答
である
2x°- 52x + 2n-11 = 0 … (*)の判別式 Dは
D= 25n°-4·2(2n°-11) = 9n°+ 88
nの値にかかわらず 9n°+88 >0 であるから,方程式(*)はつねに異
001
00T
5n土/9n°+88
なる2つの実数解 x=
をもつ。
有理数の解をもつためには
19n°+ 88 が整数でなくてはな
らない。
4
よって,方程式(*)が有理数の解をもつとき,0以上のある整数えが
(S-)x18+ex
Key 1| あって 9n°+88 =D とおける。
(k+3n)(k-3n) = 88 S=h× 18ナ )×
『= (-)×E
これより
k+3n, k-3n はともに整数で, n>0 より
k+3n>k-3n かつ k+3n>0 68+6-)×18
また,(k+3n) +(k-3n) = 2k より,&+3nと k-3n の和は偶数である。
よって,これを満たす整数の組(k+3n, k-3n) は
(k+ 3n, k-3n) 3 (44, 2), (22, 4)
(i)(k+3n, k-3n) = (44, 2) のとき
このとき,方程式(*) は
因数分解すると(x-3)(2x-29)=0 となるから, (*) の有理数の解は
88 = 2°·11
k= 23, n =7めか +(8
(88+)
5n土k
にn=7, k=23
2x°-35x +87=0
x=
4
を代入してもよい。
29
104
x= 3,
2
000
k= 13, n=3
(ii)(k+3n, k-3n) = (22, 4) のとき
このとき,方程式 (*) は 2.x-15x+7=0
因数分解すると(x-7)(2.x-1) =0 となるから, (*) の有理数の解は
5n土k
にn=3, k=D13
4
を代入してもよい。
=7,
北
右田者の解をもつとき、正の整数 n
