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解答編
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よって,n?+7n+36と n+5の最大公約数は,
n+5 と 26 の最大公約数に等しい。
したがって,最大公約数として考えられる数は、
26 の約数の1, 2, 13, 26 である。
ここで,n+5と 26 の最大公約数を gとすると、
例えば n+5=7 すなわち n=2のとき g=1
n+5=6 すなわち n=1のとき g=2
n+5=13 すなわち n=8のとき g=13
n+5=26 すなわち n=21 のとき g=26
となる。
よって,求める数は
より
1357= 864-1+493
1357 と 864に
設法の計算を行うと
57= 864·1+493
4= 493-1+371
493= 371- 1+122
371= 122-3+5
122=5-24+2
5=2-2+1
2=1-2+0
て、1357と 864 は互いに素であるから、 最
小さい正方形の1辺の長さは1である。
よって,求める面積は 1°=1
2より,1辺の長さが 864, 493, 371, 122, 5.
21の正方形で敷き詰められる。
よって 7種類
2より,敷き詰められた正方形の個数は
1+1+1+3+24+2+2=34(個)
… 1357
|864
1, 2, 13, 26
288 (1) 求める自然数をn とすると, nはx, y
を整数として,次のように表される。
n=5x+2,
5x+2=14y+5
5x-14y=3 … ①
のの右辺を1とした方程式5xー14y=1 につい
て,x=3, y=1はその整数解の1つである。
5-3-14-1=1
n=14y+5
よって
すなわち
よって
両辺に3を掛けて
86(1) 14n+52=(4n+17).3+(2n+1)
4n+17=(2n +1)-2+15
よって,14n+52 と 4n+17 の最大公約数は、
2n +1と 15 の最大公約数に等しい。
したがって,14n+52 と 4n+17 の最大公約数が
5のとき,2n +1は5の倍数であるが, 3の倍数
5-9-14-3=3
D-2 から 5(xー9)-14(y-3)=0
5(x-9)=14(y-3)
5と14は互いに素であるから, x-9は14の倍
すなわち
数である。
よって,kを整数として, xー9=14k と表される。
ゆえに
ズ=14k+9
でない。
したがって
n=5x+2=5(14k+9)+2
また, 3<2n+1<101 であり, 2n+1 は奇数で
あるから
=70k+47
70k+47 が3桁で最大の自然数となるのは,
n=70-13+47==957
70k+47 が3桁で最小の自然数となるのは,
2n+1=5, 25, 35, 55, 65, 85, 95
n=2, 12, 17, 27, 32, 42, 47
よって
k=13のときで
2) 11n+39=(6n+20)-1+(5n+19)
6n+20=(5n+19).1+(n+1)
5n+19=(n+1).5+14
よって,11n+39 と 6n+20 の最大公約数は,
n+1と 14の最大公約数に等しい。
したがって, 11n+39と 6n+20 の最大公約数が
7のとき, n+1は7の倍数であるが, 2の倍数
でない。
また, 2<n+1<101 であるから
k=1のときで
n=70-1+47=117
別解 =-5, y=-2が①の整数解の1つであ
ることに気がつけば, 次のようになる。
x=-5, y=-2は, ① の整数解の1つであるか
5-(-5)-14-(-2)=3
0-3 から 5(x+5)-14(y+2)=0
5(x+5)=14(y+2)
5と 14は互いに素であるから, x+5は14の倍
ら
すなわち
n+1=7, 21, 35, 49, 63, 77, 91
n=6, 20, 34,48, 62, 76, 90
数である。
よって
よって, kを整数として, x+5=14k と表され
ゆえに
ズ=14k-5
7 指針 n?+7n+36=(n+5Xn+2)+26と変
形して, n+5と 26 の最大公約数を考える。
したがって
n=5x+2=5(14k-5)+2
=70k-23
参考 n+23は5でも14でも割り切れるから,
+7m+36=(n+5(m+2)+26
ロ
最大公約数が1、2、13、26になる数を適当に出してそれらになるということを証明した、って事であってますか？