すごく当たり前のことを聞いていたらすみません。黒い線で囲まれた部分の赤とピンクの蛍光色の部分がわかりません。方冪の定理でなぜOX•OA=OY•ODが示されると接線の長さが等しいのでしょうか。

を意味する. 良問 【基礎 0.3.9】 (1995TOT 秋 JO 間4) 三角形 ABC の LA の二等分線と辺BCの交点を M とし, LA の外角の二等分線と直線BC の交点を N とする. また, 三角形 ABCの外接円の点Aにお ける接線と 直線BC の交点を K とする. このとき MK =KN を証明せよ。 B db A M /CK となり, MK AK が得られる. また, LCAN = LNAD より a D N 解答図のように,線分 BA のAの方向への延長上 に点Dを取る. 接弦定理より LCAK = LABM で ある. LBAM=LMAC より LKMA= LBAM + LABM =外角 = LMAC + LCAK = LKAM LKNA + LABM = LNAD = LCAN =LKAN+LCAK ba b であるので, LABM=LCAK 各辺から引いて LKNA = LKAN が得られる. したがって AK = KN である. これと MK = AK より MK =KN がわかる. 0 0 注 Kは直角三角形 AMN の斜辺の中点で, その 外心である. 【基礎 0.3.10】 (1995TOT 春 SA 問3) 台形の互いに平行でない2辺を直径とするふたつの 円を考える. 台形の対角線の交点がこのふたつの円 の外にあるとき、 対角線の交点からふたつの円に引 いた4本の接線の接点までの線分の長さは、 すべて 等しいことを証明せよ. 解答 AD // BC である台形 ABCD の 対角線の交 点をOとする. また AB を直径とする円と直線 AC の A 以外の交点を X とし, CD を直径とする 円 T2 が BD と交わる D以外の点を Y とする. 同じ円に対する2本の接線の長さは等しいの で, 0 から T1, T2 に引いた接線の長さが等しい ことを示せばよい。それには、方の定理から。 OX-OAOY･OD を示せばよい。 三角形 AOD と COB は相似であるから, OC OB である. また三角形 OBX と三角形 OCY は相似である。 (なぜなら LXOB = LYOC, LOXB = LOYC = OC OY であり、ゆえに OB OX つまり OX-OA = OYOD となり 0 90° である) よって = OA OY OD OX' 証明が完了した。 B A AS OA OD D C ●アポロニウスの円 2定点A,B までの距離の比が一定値k (≠1) で ある点Pの軌跡は CD を直径とする円である. こ こで C, D は直線AB上にあり、符号付き長さで AC:CB=AD: DB を満たす2点である. このC. DをA,Bの調和共役点と呼ぶ.

【複素数平面】に関する問題です。 この問題では方程式が円であるための条件を考えるのですが、解説を読んでもよく分からないことがあります。 まず参考書では大体【|z−α|=r】が円であると説明されていてます。 自分の頭の中ではαは固定されていて、その【中心との差】がrである... 続きを読む

8円･ (ア) 方程式zz +βz + Bz +1=0は,βが[ という条件を満たすとき,円を表す. (立教大・観光, コミュニティ福祉) (イ)|z-2i|l=|2z-i|を満たすぇの全体は複素数平面の中のどのような図形になるか調べなさい。 丸。 (ウ) 複素数zが等式|z-1|=2を満たすとき, 複素数 w=1+2iz を表す点 Q は, 複素数平面のど のような図形上にあるか. (東北芸術工科大) |z-a | の形にする |z-α|2=(z-α) (z-α)= (z-α) (z-a) = zz-az-az+aa と展開できるが,これを反対向きに使うことで, zz+Bz+B2 の形を | を用いた形に直せる. z-αの形にすることにこだわり過ぎない z=x+yi(x, y は実数) とおいて, x,yの関係式を 求める方法も忘れずに、計算量が少し増えたりするが, バーが出て来ないというメリットがある. 複素数の足し算、掛け算を操作と見る すでにこれについては述べているが, (ウ) のような問題に ついてもこのような見方をしよう.zに複素数の定数を掛けるのは回転。拡大に,複素数の定数を足す のは平行移動にあたる. 解答量 (ア) zz+B2+B2+1=0 (z+B) (z+B)-BB+1=0 (z+B) (z+B)=BB-1 .. ∴.|z+B|=|B|2-1 これが円を表す条件は, [B|2-1>0 ∴. |β|>1 (イ) z=x+yi (x, y は実数) とおくと, |z-2i|=|2z-iのとき, |x+(y-2)i|=|2x+(2y-1)i. 両辺を2乗して, .. x2+(y-2)=4.x2+ (2y-1) 2 ∴.3x²+3y²-3=0 したがって、x2+y2=1 となるから, zの全体は原点 0 を中心とする半径1の円 (単位円) である. .. 【別解】|z-2i|=|2z-iにより, z2i)(z2i) = (2z-i) (2z-i) zz +4=4zz+1 .. (z−2i)(z+2i)=(2z−i) (2z+i) ∴.|z|2=1 |z|=1 (ウ) zwの変換を図形的にとらえる. zz × (2i)zx(2i) + 1 (=ω)と考 えると, 点zを原点Oを y4 Y₁ .. 中心に90°回転して2倍 をして,さらに実軸方向 に1だけ平行移動して得 られる点がwである. |z-1|=2は点1を中心 とする円である. この円は,中心と半径に着目すると上図のように移される. よってQ(ω) は,中心 1+2i, 半径40円 | w-1-2i|=4上にある. YA 2 B 4 $2 O 2 0 1 C |z +B|2=|B|2-1が円を表すな ら左辺 | z + B12 は正の実数. ←la+bil=√a²+62 ■lz-2il=22-1/2により. |z|26|:|z-/|-2:1 であるから, アポロニウスの円の 知識 (13) を使って答えを確認 できる. [逆手流 (13) で解くと] w=1+2iz をzについて解い w-1 て, z= 2i |z -1|=2に代入して, w-1 -1=2 ∴. |w-1-2i|=2|2i|=4

急ぎめです💦教えてください！

20 練習 32 補足 点A(-3, 0) からの距離と, 点B(2, 0) からの距離の比が 3:2 である 点Pの軌跡を求めよ。 一般に,点Aからの距離と, 点Bからの距離 の比が minである点Pの軌跡は, manの とき円になる。 この円をアポロニウスの円 という。 この円は, 線分 AB を min に内分 する点と外分する点を直径の両端とする円である, A -m n B -m

お時間あれば教えてください。

練習 2点A(-6,0), B (0, 4) に対して, AP = BP を満たす点Pの軌跡を 31 求めよ。

解説の赤文字のところがどうしてそうなるのか分かりません。教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

基本例題107 アポロニウスの円 80 000 2点A(-4,0), B(2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。 p. 1661, 2 指針 定点A(-4, 0), B(20) PO 条件を満たす任意の点をP(x,y) とすると、条件は AP: BP=2:1 このままでは扱いにくいから, a>0,6>0のとき、a=b⇔a=b2 の関係を用いて AP:BP=2:1⇔AP=2BP⇔ AP'=4BP として扱う。 これを x,yの式で表すと, 軌跡が得られる。 TOP 軌跡である図形 F が求められたら, 図形F上の任意の点Pは,条件を満たすことを確認 する｡ CHART 軌跡軌跡上の動点 (x,y) の関係式を導く 解答 条件を満たす点をP(x, y) とすると AP:BP=2:1 ゆえに すなわち したがって AP=2BP AP2=4BP2 (x+4)2+y2=4{(x-2)^+y2} 整理して x2+y2-8x=0 すなわち (x-4)2+y2=42 よって, 条件を満たす点は, 円 ①上にある。 逆に,円 ① 上の任意の点は,条件を満たす。 したがって 求める軌跡は YA -4 O en anil B 2 P(x,y) 18x OUTSIAHO & FATHLON <AP > 0, BP >0であるから 平方しても同値。 #9 xの式で表す。 x²-8x+42+y2=42 + =(1-x)+(8形は,同値変形。 中心が点 (40), 半径が40円 ASSHOSTA ka 注意 「軌跡の方程式を求めよ」なら、答えは①のままでよいが, 円(x-4)2+y=42 を答え 「軌跡を求めよ」なので、Aのように, 答えに図形の形を としてもよい。 示す。 = ²x+√³= [[$ 0=8−x+x ①の式を導くまでの式変

この問題がどうしても解けませんでした💦 丁寧に解説していただけるとありがたいです。

[ⅢI 慶応義塾大] 複素数z は等式 |_}| 2- -2 =2を満たす。 複素数平面上で,zを表す点をP(x+yi) とする。 2- -1 点Pから,それぞれ点 A (2), B (1) に引いた線分 PA と PB の長さの比を求めよ。 また, 点Pはどのような図形上にあるか。 図形の方程式を求め,図示せよ。

波線部がなぜいきなりこうなるかわかりません😭

点を直径の両端とする円(この円をアポロニウスの円という) (2) m=n のとき AP=BP であるから, 線分 ABの垂直二等分線 基本例題 98 2定点からの距離の比が一定な点の軌跡 2点A(0, 0), B(5, 0)からの距離の比が 2: 3 である点Pの軌跡。 000 152 p.151 基本事項」 の開係式て表て 21の式を整。 あその図影上 条件に置さぐ Rめる教跡ン CHARTOSOLUTION 与えられた条件を満たす点の軌跡 P(x, y) として, 条件から x, yの間の関係式を導く 条件を満たす任意の点Pの座標を(x, y) とする。 AP>0, BP>0 から のうち、 手順2で 要はなかった。 人、 ここでは,条件に AP:BP=2:3 → 3AP=2BP → 9AP-4BP? これを座標で表し, x, yの関係式を求める。…… 解答 点Pの座標を(x, y)とする。 Pの満たす条件は 園 2点AC AP:E P(x, y) 3 21 A -4 OT 2/ AP:BP=2:3 B (距離)を用いると、 算がスムーズ。 よって 3AP=2BP 5 -10 すなわち 9AP=4BP 上の問題の下線 AP=ナy。BP= (x-5)?+y を代入すると 9(x?+y°)=4((x-5)+y°} 国等さ 条件 9AP?=4BP? を x, yで表す。 新を満たす点 AP>0, BP> よって(x- が帰られる。 整理すると (x+4)+y?=6° ゆえに,条件を満たす点は円①上にある。 逆に,円の上の任意の点は, 条件を満たす。 したがって, 求める軌跡は 一逆が明らかなときは,こ の確認を省略してもよい 中心(-4, 0), 半径6の円 2点A, Bからの距離の比が m: n (一定) である点Pの軌跡 m>0, n>0 とする。 (1) mキn のとき 線分 AB を m: n に内分する点と, 外ガ 「条件を満 としてはいに なせなら、右 直線 AB 上に TONT Br は定 2,0 であるとき、 83 ただし、円 点(-10, 0) を直径の両端とする円) AP: BP= したがって PRACTICE…98° 次の条件を満たす点Pの軌跡を求めよ。 (1) 2点A(-4, 0), B(4, 0) からの距離の2乗の和が36である点P (2) 2点A(0, 0), B(9, 0) からの距離の比が PA: PR (3) 2点A(3, 0), B(-1, 0) と占n 中心 のように このように を 上P 太内園 28 TU

次の方程式を満たす点z全体は、どのような図形か?という問題なのですが、この式の変形をするまでの過程を詳しく教えてください。お願いします💦

(2) |2 -2i|22|z+il

！！！至急お願いします！！！ マーカーが引いてあるところで、この式が何を表しているのか分かりません。あと、右辺と左辺がなぜイコールになるのかも分かりません。教えてほしいです🙇‍♂️

基本 例題107 アポロニウスの円 |2点A(-4, 0), B(2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。 1ー 基本 例題107 アポロニウスの円 占A(-4, 0), B(2, 0) からの距離の比が2:1である点の軌跡を求めよ。 p.166 基本事項 0, 12 指針> 定点 は A(-4, 0), B(2, 0) 条件を満たす任意の点を P(x, ) とする と, 条件 は このままでは扱いにくいから, a>0, b>0のとき, a=b→α'=6 の関係を用いて AP:BP=2:1 AP:BP=2 :1→ AP=2BP → AP=4BP として扱う。これを x, yの式で表す と, 軌跡が得られる。 軌跡である図形Fが求められたら, 図形F上の任意の点Pは, 条件を満たすことを確認 する。 CHART 軌跡 軌跡上の動点(x, y) の関係式を導く 解答 条件を満たす点を P(x, y) とすると P(x, y) AP:BP=2:1 ゆえに AP=2BP A B -4 0 24 8 x すなわち AP=4BP? AAP>0, BP>0であるから 平方しても同値。 したがって (+4)+y34((x-2)+ツ x°+y?-8x=0 (x, yの式で表す。 整理して すなわち (x-4)+y°=4° . 0 x-8x+4°+y=4° よって,条件を満たす点は, 円①上にある。 逆に,円の上の任意の点は, 条件を満たす。 したがって,求める軌跡は AOの式を導くまでの式変 形は,同値変形。 O円 中心が点(4, 0), 半径が4の円 の 注意「軌跡の方程式を求めよ」 なら, 答えは①のままでよいが, <円 (x-4)+y°=4を答え 「軌跡を求めよ」なので, ④のように,答えに図形の形を としてもよい。 示す。

赤の部分の式変形の過程を教えてください。🙇🏼‍♂️

よって(2+1(2+1)=4(2-2(2- 2 2 2 両辺を展開して整理すると 22-32 -32+5=0 式を変形すると Sィ-3(z-3) =4 すなわち |2-3|2=2° したがって |2-3|=2 これは,点3を中心とする半径2の円である。 参考 この円は,2点 -1, 2からの距離の比が 2:1である点2全体である(アポロニウスの円)。