2乗をすると計算してだしたxが方程式を満たさない場合があるってことですよね？ どうしてですか？

・基本3.6 P る多項式 21 基本 例題 8 無理方程式・無理不等式の代数的な解法 次の方程式、不等式を解け。 00000 (1)√x2-1=x+3 (2) √25-x2>3x-5 基本7 指針 ここでは,グラフを用いずに代数的な方法で解く。 平方して なるが,Aに対し √A≧0, A≧0 であることに注意する。 をはずす 方針と 1 章 ① 分数関数・無理関数 は成り A=B からは (1) 前ページの基本例題7 (1) と同様。 両辺を平方した方程式の解が最初の方程式を 満たすかどうかを確認するようにする。 (2) まず,(√内の式) 0から、xの値の範囲を絞る。 次に, 3x-5 < 0, 3x-5≧0で 場合分け。 A≧0, B≧0 のときA>B⇔A> B2 が成り立つ。 (1) 方程式の両辺を平方して x2-1=(x+3)2 解答 これを解くと x=- 5 3 これは与えられた方程式を満たすから,解である。 2 (x+5)(x-5)≤0 よって -5≤x≤5..... ① (2) 25-x20 であるから [1] 3x-5<0 すなわち ①から-5≦x</ のとき 参考 グラフの利用。 (1) y=√x2-1 … A とす ると,y20 で, y2=x²-1 から x²-y2=1 よっ て Aは双曲線x2-y2=1 のy≧0の部分を表す。 (2) 同様に考えると, y=√25-x2 Bは円 x2+y2=25のy≧0 の部分 を表す。 これらのことを利用すると, グラフを用いて解を求めるこ ともできる。 例えば, (2) では, の次の図でグラフの上下関係に 注目する。 見る 25x20 であるから, 与えられた不等式は成り 立つ。 5 [2] 3x-50 すなわち ① から ≤x≤5 3 ← 今なれと とき 不等式の両辺は負ではないから,平方して 0 (2) YA y=3x-5 5 25-x2>(3x-5) (B) 5 整理して x2-3x < 0 ゆえに 0<x<3 3 -5 0 35 x 5 よって, ③ から ...... (4 -5 -5≤x≤3 検討 ≦x<3 3 0 求める解は,②, ④を合わせた範囲で 無理方程式・無理不等式に関する同値関係 一般に,次の同値関係が成り立つ。 [1] √A=B⇔A=B2, B≧0 [2] √A<B⇔ A<B°, A≧0,B>0 A=B2が成り立てば A≧0 [3] √√A>B⇔ (B≧0,A>B2) または (B < 0, A≧0) (1)[1](2) [3] を利用して解くこともできる。 例えば, (1) は,x2-1=(x+3)2 から求 めたxの値が x+3≧0 を満たすかどうかを調べるだけでもよい。 練習 次の方程式、不等式を解け。 [(1) 千葉工大, (3) 学習院大] D- 630 ③_8__ (1) √x+3=12x| (2)√4-x^2≦2(x-1) (3)√4x-x2>3-x p.23 EX5

(3)と(5)がわかりません こたえは (3)必要十分条件 (5)十分条件

次の□に,必要条件,十分条件, 必要十分条件のうち、最も適 当であるものを入れよ. ただし, 必要十分条件のときは「必要十 分条件」 と答えよ. (1) x=-2 は x2 =4 であるためのである。 (2) |-1|<2√3 は pl<1であるためのである. (3)整数nについて,4m+nが3の倍数であることはm+n が3の倍数であるためのである. (4) ∠A=90°は, △ABC が直角三角形であるための である。 (5)「xy≠6」は「x≠2 または y≠3」 であるため である。

どうして両辺に(x+2)の2条倍しているのかわからなくなりました。教えてほしいです

［71］の解答で、増加するための条件は0≦x≦1のとき、f’(x)≧0 ではなく、0<x<1の時、f’(x)≧0としているのは何故なのかをこの前、質問したところ、定義域の端では微分が出来ないから。 という解答をいただき、その時は納得したのですが、［72］の解答を見ると、f... 続きを読む

カッコ2について質問です。解答の、「変形するとa+b+~」について、なぜこのような変形をしているのですか？回答お願いします。

b C a ③18 (1) 0 以上の実数a, b, c がa+b≧c を満たすとき, 1+α+ 立つことを示せ。また,等号が成り立つための条件を求めよ。 C -+1+6 M 1fcが成り (2)0 以上の実数a, b, c が a b + 1+α 1+6 1fc を満たすとき,a+b≧cは成り 立つか。 成り立つならば証明し, 成り立たないならば反例をあげよ。 [類 東北学院大] →27

数学の記述についてです。名大を受けます。 青の部分の記述なしで、ピンクの部分を　⇔　で繋ぐだけの同値変換だと減点されますか? 特性方程式は記述してはいけないと教えられているので、この部分が模範解答に記述されていることに疑問を持ち、質問しました。

139-2 α1=1>0 であることと,与え られた漸化式の形から、すべての自然数 nに対して, an0 である (厳密には数 学的帰納法を用いる) よって, 両辺の 逆数をとることができて 1 = nan+2 an 1 =2. -+n an これら 初項 FJ. * 列で よっ C a 1 an an+1 = bn とおくと, 61=1,6n+1=26n+n 次にすべての自然数nに対して an (3) ・① a これ。 ここ a α(n+1)+β=2(an+β)+n......② となるように, α, β を定めると α=-1,β=-1 ①-②より, bn+1=20n+nは bn+1+(n+1)+1=2(6„+n+1) と変形される. よって, 数列{bn+n+1} は初項 b1+1+1=3, 公比2の等比数列である から, bn+n+1=3・2n-1 ∴.bn=3.2"-1-n-1 (141- =( =( より, I 1 したがって, an 3.2"-1-n-1 これ 140 (1) an+2-pan+1 D

（2）がなぜ答えのようになるのかと、私のやり方のどこが間違っているのか教えてください。

基本 例題 40 ベクトルの終点の存在範囲 (3) △OAB において,次の条件を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 (1) OP=sOA+t(OA+OB),0≦stt≦1,s≧0, t≧0 (2) OP = sOA+(s+t)OB, 0s≦1,0≦t100 p.66 基本事項 基本30 指針 OP=SOA+10Bの形で与えられていない。そのため,,tについての不等式の A の形に変形する。 を活かせるようにまず OP =sO+to 解答 (1) OA+OBOC とすると A の形。→s, tの不等式から, p.662 ② のタイプ (2) s, tそれぞれについて整理し, A の形へ。→s,tの不等式から, p.662 ③ イプ。 (1) OA+OB=OC とすると OP=sOA+tOC. |(1) s+t=k (0≤k≤1) C とおくと,k=0のとき 平 の こ B C' 3>8 0s+t≤1, s≥0, t≥0 よって、点Pの存在範囲は tOC AOACの周および内部 である。多から 0 AAS O SOA >31 AR ACOP=1/2(OA)+1/2 k kOA OA, kOC=0 Akを固定する。 S +1=1 k k S 平 (2) sOA+(s+t)OB=s(OA+OB) +tOBであるから, 点Pは線分A'C' 上を OA+OB=OC とすると OP=sOC+ tO. D 3倍内 D 0≤s≤1, 0≤t≤1 とする B よって, 点Pの存在範囲は +OB = OC とすると, 8 tOB 線分 OB, OC を隣り合う 2 辺とする平行四辺形の周 および内部である。 -s (OA+OB) 80+ AO- CD まで平行に動く。 $501-$124 ベクトルの終点P の存在範囲の基本4パターン 次にk を動かす。 (2) s (OA+OB)=OCと いてs を固定すると OP=OC +tOB ここでtを 0≦t≦1で すと、点Pは図の線分 C'D'上を動く。 次に, 0≦s≦1で動かすと C'D' は, 線分 OBから

模範解答と違うやり方でした このやり方でも大丈夫ですか？ 現状気づいている問題は、以下のように途中の同値がずれていることです y=f(t)が極値を持つ⇐⇒f'(t)=0となるtが存在し、そこで符号が変わる

a を実数とし、座標平面上の点 (0, α) を中心とする半径1の円の周をCとする。 (1) Cが,不等式y>2の表す領域に含まれるようなαの範囲を求めよ。 (2) は (1) で求めた範囲にあるとする。 Cのうちェ ≧ 0 かつ<αを満たす部分を Sとする。 S上の点Pに対し, 点PでのCの接線が放物線y=x2 によって切り取 られてできる線分の長さを Lp とする。 LQ=LR となるS上の相異なる 2点 Q, R が存在するようなαの範囲を求めよ。 13 icがな内にある Euk = a± √ m² + Cの中心となむ上の任意の点とのPはなくのであるので 距離が1より大きいかつ そのとき 070 だから 2 <=> \/ £, t² + ( + ²-a)² >> | 1970 だとして、1kZO) <bkk-120-1)k+0-170 ki kzo K30 - No. lily:mix+a-m lとなどとの交点をdp(dcp) 1070 5 4 70 この〆は 1970 <=> +\ {{k-ca- =))² +α- 5(k) = k² - (9-1) (19²-1 this 9-3200 a-S 7 a-170をみたせばよく、 a ° k より、 9 70 71 72 5 A a > 975 a-10のとき → d 5(0)70 S(t)= 41ttl 3 1 €> g'( t ) = 0 © 4√ ²= = = = = 増減表をかくと f0 とおく gif) + 0 x2_mx-a+1=0の解より d+p=m dp=aximitしたがって (p-d)=(24p)` - ade =m²140-41mit Lp = 1 m²+1 (B-2) F'). 2 (=> Q²-bot-tation | Lp = (m³²+1) (m+401-41m) mt((と別)とおくとZO Lp²=((+1)(++99-4151) (tzo) 070T as ^ 1α171 存在しない Lp=5(t)とおく したがって 5 § ( t ) = ( ( 11 ) ( ( + 4a - alt₁) azz (2点Pでの接線の傾きをんとおく 10km) その接線はあるK(()とは別)を用 liy=mx+kと表せる これと100)との距離が1だから、 11-akl < Amitt La=LとなるQRが存在する ⇒あるP1820にかんして、(p)=(8) となるPgが存在する <S(い)が極値をもつSK20 (c)=2t+(4cm)-6cto² =atk 40+1=6(モナ-2t 両辺正よりg(c)=( <>k-zak+a²-4/20 <m^'11=a-2aktk² t a = ≤ltu± ± 1 24 1/とおく 20で 解をもつ 11 3515 g(t) g(t) 57 8 y=a y=a 七 avのとき、 a=g(t)となる切が存在する(ヒ) ②f(t)=0となるが存在する(たい) したがって、 (1)とあわせて {<act

112の問3が分かりません 教えてください！

第2章 集合と命題 35 111 次の条件か, q について、命題gの真偽を, 集合を使って調べよ。 ただ しxは実数は自然数とする。 (1) p:-1≤x≤1l, q: -3x | (2) x=5g:x=√5 (3)は18の約数, gmは36の約数 教p.59,60 1112a, b, cは実数 mは自然数とする。 次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例 を1つ示せ (1) a=0ab=0 (3) ac=bca=b ■13xyは実数とする。次 ➤p.60918 (2)²=2aa=2 (4)は2の倍数は4の倍数 「必要条件であるが十分条件でない」, 「+ に, 分条件であるが必要条件でない」, 「必要十分条件である」のうち,適するも のを入れよ。 教p.61 例9.p.62 10 (1) x=y=2は, 2x-y=2y-x=2であるための。 (2)x=2は,x-x2=0であるための。 (3)△ABC∽△PQR は, △ABC=△PQR であるための。 (4) xl=0はx=0であるための - a, b, cは実数とする。 次の中で,α> b と同値な条件をすべて選べ ①a²>b² a-c>b-c a,b は実数とする。 次の条件の否定を述べよ。 (1)αは無理数である。 (2) '+b°<4 p.62例 10 ac>bc ●教 p.63 例 11 (3) a=-2 教 p.64 例12 a,bは実数, mnは自然数とする。 次の条件の否定を述べよ。 (1) a<1かつb>0 (2) nは偶数または3の倍数 3)[3] (A) または0<b

記述の採点してほしいです。解答自体は全てあってます。（）で囲ってある部分は答案用紙には書かないです。

3 a>0 とする.座標平面上に曲線 C:y=x-32 がある. C上の点A(a,d3a2) におけるCの接 線を1とし,点B(-a, -3 -302) におけるCの接線を とする. 2つの接線1mの交点をPとす る.このとき,次の問 (1)~(4)に答えよ. 解答欄 (省略) には,答えだけでなく途中経過も書くこと. (1) lm の方程式をαを用いてそれぞれ表せ. (2)Pの座標をαを用いて表せ. m (3)a がa > 0 の範囲で変化するとき,Pのy座標の最大値, およびそのときのαの値をそれぞれ求 めよ. (4) Cの接線のうちPを通るものがl, mのみであるようなαの値をすべて求めよ.