Question

はん

カッコ2について質問です。解答の、「変形するとa+b+~」について、なぜこのような変形をしているのですか？回答お願いします。

b
C
a
③18 (1) 0 以上の実数a, b, c がa+b≧c を満たすとき, 1+α+
立つことを示せ。また,等号が成り立つための条件を求めよ。
C
-+1+6
M 1fcが成り
(2)0 以上の実数a, b, c が a
b
+
1+α 1+6 1fc を満たすとき,a+b≧cは成り
立つか。 成り立つならば証明し, 成り立たないならば反例をあげよ。
[類 東北学院大]
→27

30数学Ⅱ
nは奇数であるから
1+1+1-11-1-11-
an bn
1
(a+b+c)"
=
(a-a+c)"
Cr
数学Ⅱ 31
1
(-a)"
Cr
←nが奇数のとき
(-a)=(-1)"a"
=-a"
また,等号が成り立つのは, α+b-c=0 かつ ab(2+c) =0の
ときである。
← (*) の左辺の分子に注
目。
ab(2+c)=0のとき, c+2>0であるから ab=0
1章
+
すなわち
a = 0 または b=0
EX
1
1
1
1
したがって
+ +
C
a=0のとき
a+b-c=0から
b=c
a" bn
(a+b+c)"
b+c=0, c+a=0のときも同様に成り立つ。
a+b-c=0から
a=c
[式と証明
b=0 のとき
よって, 等号が成り立つ条件は
α= 0 かつb=c または b= 0 かつ a=c
a+b-c+ab(2+c)
以上から
計計
1
1
+
a
b
(a+b+c) -1
(2)
+
N
1+α
1+b
tc ならば、(1)から
(2)x+y=y+zから
x-y=(z+y) (z-y)
①
←x-y=z-y2
y+z=z+x2 から
y-z=(x+z)(x-z) ...... ②
←y-z=x-z
z+x2=x+y2から
z-x=(y+x)(y-x) ...... ③
←z-x=y2-x2
① ② ③ の各辺を掛けて
(x-y)(y-z)(z-x)=(z+y)(z-y)(x+2)(x-2)(y+x)(y-x)←(右辺)
すなわち (x-y)(y-z) (z-x) {1+(y+z)(z+x)(x+y)}= 0
x0,y,z20 であるから
ゆえに
よって
1+(y+z)(z+x)(x+y)≧1
(x-y) (y-z) (z-x)=0
x=y または y=z または z=x
ここで, x=yのとき, ③に代入して 2-x=0
ゆえに
x=y=z
y=z, z=xのときも同様にして
したがって
x=y=z
x=y=z
=(x-y) (y-z)(2-x)
x(y+z)(z+x)(x+y)
(1+α)(1+6)(1+c)
-≧0が成り立つ。
左辺の分母は正であるから, a+b-c+ab(2+c) ≧0が成り立
つ。変形すると a+b+2ab≥c(1-ab)
この不等式は, ab=1のときa+b+2≧0となり,cの値に関係
なく成り立つ。
よって, a=b=1 とすると, a+b=2より大きい数としてc=3
をとれば, a+b≧c は成り立たない。
ゆえに,答えは 成り立たない。 反例 : α = b=1,c=3
←この式は(*)と同値で
あるから, (*)の分子の
式に注目する。
←ABC=0⇔
A0 または B=0 また
はC=0
EX
③ 19
次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなときか
(1) 3(a+b+c²)=(a+b+c)²
[ 学習院大 ]
a+b+c
√a+√6+√c
(2) a, b c が正の数のとき
V
3
3
EX
③ 18
(1)0以上の実数a,b,cがa+b2c を満たすとき 14 +11c
せ。 また, 等号が成り立つための条件を求めよ。
a
b
が成り立つことを示
(2) 0以上の実数a, b, cが- a
b
1+α 1+61+c
を満たすとき,a+b≧cは成り立つか。 成り
[類 東北学院大 ]
← (左辺) (右辺) 20
を示す。
立つならば証明し, 成り立たないならば反例をあげよ。
a
b
(1)
C
+
1+a 1+6 1+c
_a(1+b)(1+c)+6(1+α)(1+c)-c(1+α) (1+b)
=
(1+α)(1+b)(1+c)
(a+6+2ab)(1+c)-c(1+a+b+ab)
(1+α)(1+b)(1+c)
a+b-c+ab(2+c)
(1+α)(1+b)(1+c)
a+b≧cからa+b-c≧0であり, (1+α)(1+6)(1+c)>0,
ab (2+c) ≧0 であるから
a+b-c+ab(2+c)
(1+α)(1+b)(1+c) MO ...... (*)
←通分する。
←前2つの項、最後の項
で分ける。
(3) a>0, 6>0√√√√61
(1)3(a+b2+c2)-(a+b+c)2
=2a2+252+2c2-2(ab+bc+ca)
=(2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+α²)
=(a-b)+(b-c)'+(c-a)20
ゆえに 3a2+b2+c2)(a+b+c)2
等号が成り立つのは a-b=0 かつ b-c=0 かつ c-a=0
すなわち a=b=cのときである。
別解 シュワルツの不等式
(a+b+c)(x+y+z)(ax+by+cz)
[等号が成り立つのは, ay = bx かつ bz = cy かつ cx =az
のとき]
において, x=y=z=1 とすると
3(a+b+c)(a+b+c)²
等号が成り立つのは a=b かつ b=c かつ c=a
すなわち a=b=cのときである。
(愛媛大〕
←(1) は
a²+b²+c² (a+b+c)²
と同値である。
←本冊 p.53 参照。
←'+'+c^*)(1+1+1)
(a.1+b1+c+1)
a
b
よって
+
C
1+α 1+6
1+c

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

cに着目するとよさそうだからです
a+bよりcが大きいという反例を探すためです

だから、cについて整理する、
つまり（……)c + ……の形にする
のが自然です

はん

毎度本質的かつ分かりやすい回答で本当に助かってます、ご回答ありがとうございます。