のOO
(相加平均)2(相乗平均) と最大 最小
重要 例題32
16
の最小値を求めよ。
[類九州産大]
め x>0のとき,x+
x+2
3
2
(2) x>0, y>0とする。 (3x+2v)(+)の最小値を求めよ。
y
基本 31
16
のとなる口を求めることになる。
指針> 最小値であるから, (1)であれば, x+
x+2
トって、例題31 と同様に(相加平均)2(相乗平均)を利用して, 不等式①を証明する
つもりで考える。
(1)では、2つの項の積が定数となるように, 「x+2」 の項を作り出す。
(2)では,式を展開すると, 積が定数となる2つの項が現れる。
1章
解答
16
=x+2+
16
-2
x+2
x+2
x>0よりx+2>0であるから, (相加平均)2(相乗平均) に
(x+2)
16
22
x+2
16
=2·4=8
より
x+2+
x+2
16
ゆえに
x+
26
x+2
16
等号が成り立つのは, x+2=
x+2
のときである。
このとき(x+2)=16
x+2>0であるから x=2
(x+2=
16
かつ
x+2
したがって
=2のとき最小値6
16
x+2+
3
2) (3x+2y)(
2
=9+
y
=8
x+2
6x
6y
x
+4=13+6(--
y
y
ゆえに 2(x+2)=8
として求めてもよい。
x
y
x
x
x
x>0, y>0より, >0, >0であるから,
y
x
(相加平均)2(相乗平均)により
の
x
デ
x y
=2
x
よって 13+6(ニ+2)=13+6-2=25
213+6·2=25
y
検討
等号が成り立つのは,三-2のときである。
3x+2y22/6xyと
y
このとき x=y?
したがって
x
3
2
6
x>0, y>0であるから x=y
=yのとき最小値 25
x
y
xy
の辺々を掛け合わせてもうま
くいかない(b.56 参照)。
(1) a>0のとき
-2 2
の見小 はと めと
6不等式の証明
yと
いは正し
