Question

ゆーう

なぜ相加平均と相乗平均で最小値を求めることができるのでしょうか？

のOO
(相加平均)2(相乗平均) と最大 最小
重要 例題32
16
の最小値を求めよ。
[類九州産大]
め x>0のとき,x+
x+2
3
2
(2) x>0, y>0とする。 (3x+2v)(+)の最小値を求めよ。
y
基本 31
16
のとなる口を求めることになる。
指針> 最小値であるから, (1)であれば, x+
x+2
トって、例題31 と同様に(相加平均)2(相乗平均)を利用して, 不等式①を証明する
つもりで考える。
(1)では、2つの項の積が定数となるように, 「x+2」 の項を作り出す。
(2)では,式を展開すると, 積が定数となる2つの項が現れる。
1章
解答
16
=x+2+
16
-2
x+2
x+2
x>0よりx+2>0であるから, (相加平均)2(相乗平均) に
(x+2)
16
22
x+2
16
=2·4=8
より
x+2+
x+2
16
ゆえに
x+
26
x+2
16
等号が成り立つのは, x+2=
x+2
のときである。
このとき(x+2)=16
x+2>0であるから x=2
(x+2=
16
かつ
x+2
したがって
=2のとき最小値6
16
x+2+
3
2) (3x+2y)(
2
=9+
y
=8
x+2
6x
6y
x
+4=13+6(--
y
y
ゆえに 2(x+2)=8
として求めてもよい。
x
y
x
x
x
x>0, y>0より, >0, >0であるから,
y
x
(相加平均)2(相乗平均)により
の
x
デ
x y
=2
x
よって 13+6(ニ+2)=13+6-2=25
213+6·2=25
y
検討
等号が成り立つのは,三-2のときである。
3x+2y22/6xyと
y
このとき x=y?
したがって
x
3
2
6
x>0, y>0であるから x=y
=yのとき最小値 25
x
y
xy
の辺々を掛け合わせてもうま
くいかない(b.56 参照)。
(1) a>0のとき
-2 2
の見小 はと めと
6不等式の証明
yと
いは正し

数2

Answer 1

ひま

f(x)の最小値がmであるとは、任意のxに対しf(x)≧mであり、なおかつf(x)=Mなるxが存在するということです
不等評価と等号成立が言えているので、最小値がもとまっています

Answer 2

tra7345

○≧△
の形にできるわけだから
最小値が求まるでしょう？

応用編で

１／○≧△
が分かれば
○の「最大値」が分かります。

相加相乗で常に最小値、とは限らないことも知っておくと
解法の幅が広がります