最後の青い()のところで、右に書いてある感じで、係数を比較して答えを出すのは減点されますか？ x=0とかπ/2とかを代入して計算するやり方でないとだめですか？

基本 例題 156 第2次導関数と等式 (1) y=log(1+cosx) のとき, 等式 y"+2e-1=0 を証明せよ。 |(2) y=ezsinxに 267 00000 に対して,y"=ay+by' となるような定数a,bの値を求めよ。 [(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本 155 指針第2次導関数y” を求めるには,まず導関数y' を求める。 また, 1), (2) の等式はともに 解答 x の恒等式である。 (1) y” を求めて証明したい式の左辺に代入する。 また,er をxで表すには, 等式 elog = pを利用する。 (2) y, y” を求めて与式に代入し、 数値代入法を用いる。 y=2log(1+cosx) であるから (1+cosx). 2sinx y'=2. 1+cosx よって y"=- 1+cost 2{cosx(1+cosx)−sinx(−sinx)} (1+cosxnia 2(1+cosx) (1+cosx) 2 1+cosx ex=1+cosx また, // = log(1+cosx) であるから 2 log M = klogM なお, -1≦cosx≦1と (真数) > 0 から 1+cosx>0 sinx+cos2x=1 [0] elogp=pを利用すると elog(1+cosx)=1+cosx 5章 22 2 高次導関数関数のいろいろな表し方と導関数 ゆえに よって 2e-= 2 2 y 1+cosx e2 y"+2e-=-- 2 + 2=0 1+cosx 1+cosx (2) y=2e*sinx+ecosx=ex(2sinx+cosx) y=2e2(2sinx+cosx)+e(2cosx−sinx) =e2x(3sinx+4cosx) ゆえに ...... ay+by'=aesinx+be2x(2sinx+cosx) =e2x{(a+26)sinx+bcosx} y=ay+by' に ①,②を代入して中 e2x \(e2*)(2sinx+cosx) 1 | +e(2sinx+cosx) (S (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③ ③はxの恒等式であるから, x=0 を代入して 4=b 参考 (2) y=ay+by' の ように、未知の関数の導関数 を含む等式を微分方程式と いう(詳しくは p.473 参照)。 ③が恒等式⇒③にx=0, また,x=を代入して 3e=e" (a+26) これを解いて a=-5,6=4 このとき 2 を代入しても成り立つ。 (③の右辺)=ex{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺) 逆の確認。 したがって a=-5, 6=4 係数を比較して、 a+26=3. よって 4:6. a:-5. (1)y=log(x+√x+1)のとき,等式(x+10y+xy=0 を証明せよ。 156 (2)yee yayby=0を満たすとぎ 定数a,bの値を求めよ。 [(1) 首都大東京, (2) 大阪工大] p.275 EX131~133 airy.

図形と方程式の問題です。どのような場合の時に最後の逆の確認を行えば良いのかわからないです。教えて頂きたいです。

重要 150 114 接線に関する軌跡 lとし,その交点をRとする。 l と l2 が直交するように2点P,Qが動くとき, 放物線y=x2上の異なる2点P (p, 2), Q(g, q2) における接線をそれぞれ l, 点Rの軌跡を求めよ。 基本 110 2点P,Qにおける接線の方程式をそれぞれ求め,それらを連立方程式として解くと, 交点R の座標 (x,y) が求められる。 x, yはつなぎの文字 gの式で表されるから、 pg を消去する方針で進める。 181 その際,2直線が垂直 解答 接線の傾きをm とすると,その方程式は y=(x-p) すなわち y=m(x-p)+p2 これとy=x を連立して x=(x-p)+p2 整理すると x2-mx+mp-p=0 この2次方程式の判別式をDとすると D=(-m)-4(mp¯p²)=(m−2p)² 接するとき, D=0であるから (m-2p)=0 よって 点Pにおける接線でx軸に垂直なものはないから, (傾きの積)=-1 を利用する。 P(カッカ) Q(g,g2) 3 10 l2 ふつうに R (x.) x 章 18 微分 m=2p したがって, l の方程式は すなわち y=2px-p2 y=2p(x−p)+p² ① 同様にして, l2 の方程式は =2gx-q2 交点R の座標 (x, y) は, 連立方程式 ①,②の解である。 を消去して整理すると 2(p_q)x=(p+g) (b-g) p+g pgであるから &c= 2 販 0=S- これを① に代入して y=2p ptg-p=pa 20-1 ここで, l⊥l2 から 2p･2q=-1 よって, pq= から y=- ③ 4 4 逆に, (*) * ③ が成り立つとき,pg を2解とする 2次方程 式2-2xt- =0 の判別式をDとすると 1 D' よって D'0 4 ①でをgにおき換え る。 参考 後で学習する微分法 (第6章) を用いると, 接線 の方程式をより簡単に求め ることができる ( 解答編 97 の 参考 を参照)。 (*) 逆の確認。 直線 y=-21 上の任意 の点から、必ず接線が2 本引けることを確認して いる。ここで, pg を2 解とする2次方程式の1 p+g=2x, ゆえに、任意のxに対して実数pg (p)が存在する。 b=-1/2 から 4 したがって求める軌跡は 直線y= == 21 (0 12-2xt- =0 大事

青い()のところを係数を比較して答えを出したのですが、このやり方はだめですか？記述の場合減点などされますか？

基本例題156 第2次導関数と等式 (1) y=log (1+cosx) のとき, 等式 y" +2e-2=0 を証明せよ。自 (2) y=e2sinx に対して, y"=ay + by となるような定数a, bの値を求めよ。 [(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本155 指針 第2次導関数 y” を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに の恒等式である。 (1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。 また,e-lをxで表すには、等式 elogp=を利用する。 (2) y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる (1) y=2log(1+cosx) であるから (1+cos x)' 1+cosx また, ゆえに y'=2. y"=-= ゆえに よって2 2{cos x(1+cos x)-sinx(-sinx)} t0) %5 2(1+cosx) (1+cos x)² 2e-2²²=22 ež y=log(1+cosx) であるから=1+cosx 2sinx 1+cos x 1+cos x (1+cosx) Snie$=$200x630 2 1+cosx R S CHI CV Quasinx+cosx=1(g) =e2x(3sinx+4cosx) 2 1+cos x (②2)=2e²sinx+e2xcosx=e2x(2sinx+cosx) y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx) ① これを解いて 2 1+cos x -+ =0+x8}nie!! =e2x{(a+26)sinx+bcosx} y'=ay+by' に ①, ② を代入して料 ① 0 e2x ③はxの恒等式であるから, x=0を代入して I ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) =" (²x\\\ (3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... 4=b log M = klogM なお、-1≦cosx≦1と (真数) > 0 から 1+cosx>0 π また、x=27072 を代入して 3e"=e" (a+26) a+20) lelogp=pを利用すると elog(1+cosx)=1+cosx (e) (2 sinx+cos x) |_ +e2(2sinx+cosx) [ [参考] (2) のy"=ay + by' の ように、未知の関数の導関数 を含む等式を微分方程式と いう(詳しくは p. 473 参照 )。 ③が恒等式 ③にx=0, π を代入しても成り立つ。 右辺==-5,6=4 このとき。 ⑩③の右辺)=e^x {(-5+2・4)sinx+4cosx)=(③の左辺逆の確認。 したがって a=-5, b=4 267 - Jel "ry'=0を証明せよ。 00 5

必要条件では重解を持つ時の場合も考えていたのに必要十分条件になったら外されるのは何故ですか？そもそも①なぜ重解でも極値を持つ可能性があるのか②必要十分条件を考えたら重解の場合が外された理由(反例)、この2点を理解出来ていないです。

例題 2.5 a を実数とする. f(x)=x+3ax²+(4a²-3a)xについて, (1) 関数f(x) が極値をもつようなαの値の範囲を求めよ. (2) 関数 f(x) が極値をもつようなαに対して, 関数f(x) は x = pで極大値, x = q で極小値をとるとする. このとき, f(p) + f (g) を α を用いて表し, その 最大値を求めよ. 【解答】 (1) さ f'(x)=3x²+6ax +4a²-3a. ん 関数 f(x) が極値をもつための必要条件は、 2次方程式f'(x)=0が実数解をもつことである. B a + : f'(x) f(x) 7 7 (重解αをもつとき) 0 + x a f(x) 極大 > 極小 / 異なる2つの実数解 α, β (a <B)をもつとき S 増減表より, f(x) が極値をもつための必要十分条件は、 2次方程式f'(x)=0が異なる2つの実 数解をもつことであり, 0-0 + (3a)²-3(4a²-3a) >0. a(a-3) <0. よって, f(x) が極値をもつようなαの値の範囲は, -) 0<a<3. = (p)\+(0)1 (答)

16. このような記述でも問題ないですか？？

・定めよ 通りの方 法 法 真の係 これ 基本例題 16 未定係数の決定(2) [数値代入法] 次の等式がxについての恒等式となるように,定数a,b,cの値を定めよ。 ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x²+7x+21 の 〔京都産大〕 p.33 基本事項 指針▷係数比較法でもできるが, 等式の形から、数値代入法 を利用する。 恒等式は x にどんな値を代入しても成り立つから, a,b,cの値が求めやすいxの値を代 入する｡ ただし,3つのxの値の代入でα,b,cの値は求められる(必要条件)が,この3つのxの 値以外でも成り立つかどうかは不明。よって,恒等式であることを確認する(十分条件)。 数値代入法を利用するときは,この点に注意すること。 019202 CHART 恒等式 1 展開して係数を比較 CHAOT) VIJJÄÄGI 代入法では,逆の確認か、(次数+1) 個の値での成立を述べる nas ( 解答 ! この等式が恒等式ならば, x= -1, 0, 3 を代入しても成り立つ。代入する数値は 0 となる項 x=-1を代入すると 46=20 が出るように選ぶ。つまり, x=0 を代入すると 3c=21 x=3 12a=96 p+pS¬)+³x(d == x(x-3)=0, を代入すると したがって (x-3)(x+1)=0 となるxの値を代入する。 逆の確認 このとき ゆえに,与式は恒等式である。 よって ②2 適当な数値を代入 a=8, b=5, c=7 b=5, c=7, a=8 (左辺)=8x(x+1)+5x(x-3)-7(x-3)(x+1) =8(x2+x)+5(x2-3x) -7 (x2-2x-3) =6x2+7x+21 ...... (+S)+(d-x(x+1)=0, つまり, 恒等式であること を確かめる。 35 1章 4 101 等式

赤線で囲った部分 微分可能なことを確かめているのでしょうが、なぜこういう式になるのかわかりません

スの入 練習 ④ 131 226 基本130 重要 131 導関数から関数決定 (2) 「微分可能な関数f(x) f(x)=lex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を 求めよ｡ 条件(x)=11から、f(x)=flex-1dx とすることは できない。 まず、 絶対値 場合に分けるから A x>0のとき f'(x)=e^-1 x<0のとき f(x)=-(ex-1)=-e*+1 x>0のときは、水と条件f(1) = e から f(x) が決まる。 しかし、x<0のときは、条件f(1) = e が利用できない。 そこで、関数f(x)はx=0 で微分可能x=0 で連続 (p.106 基本事項 ■②) に着目。 指針 lim f(x) = lim f(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 x→+0 x>0のとき, ex-1>0であるから 解答 よって f(1) = e であるから e=e-1+C f(x)=ex-x+1 したがって x<0のとき, ex −1 <0であるから よって f(x)=f(-e*+1)dx よって したがって f'(x)=ex-1 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (C は積分定数 ゆえにC=1 limf(x) = lim f(x)=f(0) +0 →0 (2) =-ex+x+D (D は積分定数) f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0で連続である。 ゆえに ①から ②から x→+0 limf(x)=lim(ex-x+1)=2 x→+0 limf(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D ゆえに D=3 x-0 このとき, lim x→0 2=-1+D=f(0) lim ん→+0 x→−0 f(x)=-e*+x+3 -=1から e-1 ****** f(h)-f(0) h =lim ん→+0 f(h)-f(0) h f'(x)=-ex+1 lim h--0 eh-h-1 h (土) -=0, -=0 lim h-0 よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。 以上から ƒ(x) = {²-e²+x+3 (x<0) (x≧0) -e″+h+1 h ● ya 13 de 導関数f'(x) はその定義 から,x を含む開区間で 扱う。したがって, x>0. x<0 の区間で場合分け して考える。 SURSIC O f(x) は微分可能な関数。 <lim ん→+0 ◄lim Stor 必要条件。 逆の確認。 p.121 も参照。 y=ex-1 ん→-01 er. h {=(e^-1)+1} DET x>0 とする。微分可能な関数f(x) がf(x)=112-1 を満たし, f (2)=-log2で あるとき, f(x) を求めよ。

赤戦で囲った部分 どうしてπ/2を代入するのか分からないです

+1) 求めよ。 1. 基本 65 では 3)', 74 第2次導関数と等式 v=log(1+cosx) のとき,等式 y” +2e-x=0を証明せよ。 ((1) y= (2) y=esinx に対して, y" = ay+by' となるような実数の定数 α, bの値を求 2x, めよ｡ 指針 第2次導関数y" を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はとも にの恒等式である。 [(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本73 解答 例題 基本的 (1)y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。 e xで表すには、等式 elogp=カを利用する。 (2)y',y" を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる。 なお,係数比較法を利用す → ることもできる。 →解答編 p.94 の検討 参照。 (1) y=2log(1+cosx) であるから (1+cos x)' y'=2. 1+cosx 2{cos x(1+cos x)-sinx(-sinx)} (1+cos x)² 32 1+cos x よって y"= 2(1+cosx) (1+cos x)² また, //=log(1+cosx) であるからex=1+cosx 2 ゆえに 1+cosx 2e = 2 est y" +2e=2=-- = また, x= 2 2 よって 1+cosx 1+cosx (2) y'=2e²x sinx+e²x cos x=e²x (2 sinx+cosx) y”=2e2(2sinx+cosx)+e2(2cosx-sinx) 2sinx 1+cosx =e2x(3sinx+4cosx) ゆえに ay+by' = aesinx+be2x (2sinx+cosx) ...... + を代入して ① =e2x{(a+26)sinx+bcosx} =0 y" = ay+by に ① ② を代入して e2x (3sinx + 4cosx)=e^x{(a+2b)sinx+bcosx} ③はxの恒等式であるから, x=0を代入して π 3e=e¹(a+2b) (3) 4=b ... <log M = klog M なお, -1≦cosx≦1と (真数)>0 から 1+cosx>0 Az el sin²x+cos2x=1 elogp=pを利用すると elog(1+cosx)=1+cosx 4(e2*)(2sinx+cosx) +ex (2 sinx+cos.x)' 131 【参考】 (2) のy"=ay+by のように、未知の関数の 導関数を含む等式を微分 方程式という (詳しくは p.353 参照)。 1③が恒等式③に x=0,177 を代入しても 成り立つ。 これを解いて a=-5,6=4 このとき (③の右辺) =e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺)逆の確認。 したがって a=-5, 6=4 2017AB DE 2 [9] JO (1) y=log(x+√x+1)のとき,等式(x+1)y"+xy'=0 を証明せよ。 ③74 (2) y=e2x+exy"+ay' + by = 0 を満たすとき,定数a, bの値を求めよ。 [(1) 首都大東京, (2) 大阪工大】 p.139 EX67~69 3章 ⑩ 高次導関数関数のいろいろな表し方と導関数 11

至急です！軌跡の問題で、このような場合は逆は書かないと減点されるでしょうか？

210 点Pの座標を(x,y)とすると AP ² - BP² = 12 A P² - (x + 2)² + (1-2) ² BP2=(-2)=(y-2)2 = (2+2)²-(y-2)²__Ax-27-17-27 7212 x² + 4x^4 + 7 = 4y+4 -√(x²=42+4 +1²4y+4)=12 PJ A x + GJ q Yek Th 4 x 145-1=12 2 2 fx (2 2x=3 mir

微分についての質問です！ 逆の確認をするときって、どういうときなんでしょうか…？ 教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

恒等式の数値代入法では最後に逆の確認が必要だと思うのですが、 記述問題じゃなかったらわざわざ確認をする必要はないですか？ それとも逆の確認は数値代入法では絶対ですか？