Question

ℎ

必要条件では重解を持つ時の場合も考えていたのに必要十分条件になったら外されるのは何故ですか？そもそも①なぜ重解でも極値を持つ可能性があるのか②必要十分条件を考えたら重解の場合が外された理由(反例)、この2点を理解出来ていないです。

例題 2.5
a を実数とする. f(x)=x+3ax²+(4a²-3a)xについて,
(1) 関数f(x) が極値をもつようなαの値の範囲を求めよ.
(2) 関数 f(x) が極値をもつようなαに対して, 関数f(x) は x = pで極大値,
x = q で極小値をとるとする. このとき, f(p) + f (g) を α を用いて表し, その
最大値を求めよ.
【解答】
(1)
さ
f'(x)=3x²+6ax +4a²-3a.
ん
関数 f(x) が極値をもつための必要条件は、 2次方程式f'(x)=0が実数解をもつことである.
B
a
+
:
f'(x)
f(x)
7
7
(重解αをもつとき)
0 +
x
a
f(x) 極大 > 極小
/ 異なる2つの実数解
α, β (a <B)をもつとき
S
増減表より, f(x) が極値をもつための必要十分条件は、 2次方程式f'(x)=0が異なる2つの実
数解をもつことであり,
0-0 +
(3a)²-3(4a²-3a) >0.
a(a-3) <0.
よって, f(x) が極値をもつようなαの値の範囲は,
-)
0<a<3.
= (p)\+(0)1
(答)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

そもそも、その2点が理解できていないというより、
それ以前のところで勘違いがあるような気がします
具体的には必要・十分がわかっていないようです

①「fが極値をもつ」とき、
②「f'=0が実数解をもつ」ことが必要です
つまり①⇒②です

この時点では、②が①の十分条件でもある（①⇔②）か、
ない（①⇒②だが②⇒①ではない）かは、不明です

そこで②⇒①が成り立つかどうかを確認します
（つまり逆の確認）
②のときでも、重解をもってしまうと①が成り立ちません
よって、②⇒①は一般には成り立ちません

②ではなく、②をもっと狭めた条件を考えます
それが③「f'=0が異なる2つの実数解をもつ」です
①⇒③は成り立ちます
3次関数で極値をもつということは
異なる2点でf'=0となります

この時点では、③が①の十分条件でもある（①⇔③）か、
ない（①⇒③だが③⇒①ではない）かは、不明です

そこで③⇒①が成り立つかどうかを確認します
（つまり逆の確認）
③のとき、増減表からも①が成り立つことがわかります
よって、③⇒①が一般に成り立ちます
したがって、①の必要十分条件は③です

で、ふつうは②の話はわざわざ答案に書きません
自分でわかっていればそれでいいです
①から③と言い換えていけばそれで○です
不要なものを良かれと思って書いたから、
わからない人にはわかりにくい解答になったのだと思います

一応、質問1:
2次方程式が重解をもつとき、
3次関数が極値をもつ可能性はありません
ありませんが、
模範解答2行目時点ではまだそれが確かめられていません
だからこそ「必要条件」と言っています
必要条件とは、いらないものも含まれうる条件です
今回は不要な「重解の場合」を含んでいます

質問2:
上記の通りです
必要十分条件とは、もとの条件と過不足ない条件のことで、
必要条件からいらないものを除外したものです
今回はいらないもの=「重解の場合」です

ℎ

丁寧にありがとうございました！！！