！！！至急お願いします！！！ 矢印のところの、式の変形のやり方が分かりません。 解説をお願いします🙇‍♂️

bn = 3h-t (h-2) An= 2bnt 3h An = 2√3h ² (n-²)} + 3 " 3-² (2n-1) Ga

！！！至急お願いします！！！ マーカーのところで、この式はどこから求めた式ですか？

576 基本例題 126 連立漸化式 (2) 数列{an},{bn} を α = 1, b1 = -1, an+1=5an-4bn, bn+1=an+bnで定めると (1)an+1+xbn+1=y(an+xbn) を満たすx, yの値を求めよ。 (2) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。 MERA 指針 p.575 基本例題125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」 の方針によって解けばよ an+xbn=(a₁+xb₁) (2) (1) から,数列{an+xbn}は公比yの等比数列となり これに αn=bn+1-6 を代入し, an を消去すると bn+1=(1-x)bn+(a+xbi)yn-1 解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn) $27 an+1= pan+g 型の漸化式 (p.564 基本例題118) に帰着。 よって, ① の両辺をy7+1で割ればよい。 =(5+x)an+(-4+x)bn よって, an+1+xbn+1=y(an+xbn) とすると (5+x)an+(-4+x)bn=yan+xybn REOC I) (S これがすべてのnについて成り立つための条件は ...... 5+x=y, -4+x=xy 5+x=yを4+x=xy に代入して整理すると x2+4x+4=0 ゆえに したがって 求める x, yの値は (2) (1)から an+1-2bn+1=3(an-2bn) よって, 数列{an-26m}は,初項α1-261=3,公比3の等比 数列であるから x=-2 x=-2, y=3 bn+1 bn 1 + 3n+1 3" 3 + + an-26m=3.3"-1 3 すなわち an=26+3" これに an=bn+1- 6 を代入すると bn+1=36n+3 3¹ bn あるから 第1-131+(n-1)-13-032 = よって a=3"-¹(2n-1), b=3"-¹(n-2) 両辺を 37+1 で割ると 数列{10} は,初項 1/14-11/11/13 公差 1/13の等差数列で = ま め [参考] [解法2][1つの に関する漸化式に帰着させ る]の方針による解答 an+1=5an-4bn. bn+1=an+bn ② から a=bx+1-bm an+1=bn+2-b₁ これらを①に代入して bn+2-6bn+1+9bn=0 特性方程式x^2-6x+9=0 解くとx=3(重解) よって, p.573 基本例題124 と同じ方針で、 まず一般 を求める。 1 lan+1=pantg”型は両辺 g" +1 で割る(p.564 参照)。 an=26+3に代入。

anの求め方が分かりません。

00000 基本例題 126 連立漸化式 (2) 数列{an}, {bn}をa=1,b=-1, ass=50-4b, bn+1=an+bで定めるとき (1) an+1+xbn+1=y(an+xbm) を満たすx,yの値を求めよ。 (2) 数列 {an}, {bn}の一般項を求めよ｡ 基本 118.125 雪針 575 木 125 (1) と同様に、 [解法] 「等比数列を利用」 の方針によって解けばよい。

最後の黒線で引いたところの計算が分かりません。

00000 基本例題 126 連立漸化式 (2) 数列{an}, {bn}をa=1, b,=-1, an+1=54-4b, bn+1=an+bnで定めるとき (1) an+1+xbx+1=y(an+xb²)を満たすx,yの値を求めよ。 (2) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。 指針 p.575 基本例題 125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」の方針によって解けばよい。 an+xb.=(a+xbi)y (2) (1) から 数列 (an+xb.) は公比yの等比数列となり これに α = bats-b を代入し, an を消去すると bn+1=(1-x) b.+ (②2+xbi)y"-1 ① += pa.+α型の化式 (p.564 基本例題118) に帰着。・････... よって, ① の両辺をy"+ で割ればよい。 解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn) =(5+x)an+(-4+x)bn よって, an+1+xbn+1 = y (an+xbm) とすると (5+x)an+(-4+x)bm=yan+xybn これがすべてのnについて成り立つための条件は 5+x=y, -4+x=xy 5+x=yを4+x=xy に代入して整理すると x2+4x+4=0 ゆえに x=-2 したがって 求めるx, yの値は (2) (1) から これに α = bn+1- 6m を代入すると bn+1=36+3 an-2bm=3.3"-1 = 3" すなわちa=26+3 & HA ***** an+1=b+2-bati これらを①に代入して bn+2-6b+1+9bn=0 特性方程式 解くとx=3 (重解) an+1-2bn+1=3(an-2bn) よって, p.573 基本例題124 よって, 数列{an-26 ) は,初項α-26, 3, 公比3の等比 と同じ方針で、 まず一般項b 数列であるから月 を求める。 x=-2, y=3 3¹ bn 3" bn+1 bn 1 3+1 3" 3 両辺を 3 +1 で割ると b₁ 数列{2}は,初項 12/1=11/11/13 公差 1/1/3の等差数列で =. + あるから --1/3+(n-1)-1-12 . よって 基本118,125 an=3"-¹(2n-1), b=3"-¹(n-2) [[解法2] [1つの数列 に関する漸化式に帰着させ る] の方針による解答 an+1=5an-4bx bsity=ax+bn ② から an=b+1-bs. ****** ② 6x+9= 0 を 44,00 Jr! <an+1=pan+g型は両辺を g" +1 で割る(p.564 参照)。 a=26+3" に代入 (基 1

別解で、波線引いたαn＋3はどこから出てきたんですか？

例題 117 連立漸化式 列{an},{bn}が次のように定められるとき,次の問いに答えよ。 α=4,b=1, an+1=3an+bm 数列{an+bn}, {an-bn}の一般項を求めよ。 数列{an},{bn}の一般項を求めよ。 CHART OLUTION 数列{an}, {bn}の連立漸化式 2 ………... PRACTICE ‥.①, bn+1=an+3bn....... ② an+1+abn+1=β(an+αb) を導く ・・・・・･! an (またはbm) だけの漸化式を導く 別解 ① から これら②から よって 解答 口 (1) ① +② から an+1+bn+1=4(an+bn) から 数列{an+bn}は,初項 α+b=5,公比4の等比数列である an+bn=5.4-1 ④から ← ① ② から an+1-bn+1=2(an-bn) から 数列{an-bn}は,初項 α-b1=3,公比2の等比数列である an-bn=3.2n-1 隣接3項間の漸化式となる。 an (2) (1)からa=12/12(5.41+3.2 -1, 6n=1/12(5.4" bn=an+1-3an, bn+1=an+2-3an+1 an+2-3an+1=an+3(an+1-3an) an+2-6an+1+8an=0 これを変形すると an+2-2an+1=4 (an+1-2an) an+2-4an+1=2(an+1-4an) 数列{an+1-2an}は,初項a2-2a1=(3a+b1)-2a1=5, 公 比4の等比数列であるから an+1-2an=5.4-1 ・③ 数列{an+1-4an}は,初項a2-4a1=(3a+bì)-4a=-3, 公比2の等比数列であるから an+1-4am=-3.2-1 4 an=(5-4-¹+3.2²-1) ゆえに, ① から bn=an+1-3an = 1/12 (5.4"-1-3.2"-1) 4-1-3.2"-1) inf. an+tab =(an+abm)と変 ると、数列{ant ob 比数列になる。 ①②から an+1+abn+1 =(3a+bml)+clart1. =(3+α) am+(1+301_ B=3+α, a6=1+30 (3+α)=1+30 よって α=±1 ゆえに,数列{ax+bd {bn}は等比数列 る。 inf. CHART & SOLUTION の口につ て。 まず 連立漸化式 辺の和差を求めよう の形を導けることがあ ■an+1を消去する。 117⑨ 次の関係式で定まる?つの数列{an}と{bn}がある。

数学の漸化式です。1番はわかるのですが、2番と3番がわかりません。どなたか教えていただけると嬉しいです🥹

nを自然数とするとき,次の関係式で定められる数列 {a.}, {6.}の一般項 an, b, を求めよ。 (配点 50) (1) ai= 2, an+1 =an+n+2" (15点) (2) a=-1, az=1, aw+2=7am+1-10am (15点) (3) a= 1, b、= 2, am+1 =6a, + 46m, bm+1 =2a, +46, (20 点)

連立漸化式です。 とても見にくくて申し訳ないのですが、どうしてもこの問題の答えがaとb逆になってしまいます。 どうしたらいいのでしょうか？

191 aczl. Ai: 3. Amel = 20mthni bomt-ant2len. Ontl + ahael - 1Bcaのtako) en-an+21"1 3-142 Antt td lhnet = /Sant ABhn (2ォa)on n l+l+ 20) An ® 30m3.hmg 2ta= B (+2x:ab 2t0-al126) Antt--Antl - Qn-an antttihntil = 3{ant Dni) (3 an-anz -2,17-1 4 ant hn = l )か) 240: t 2a 2 (2.2 20-2-0 314mmt 422 20n21-2-3.4h (a)(α-1)20 トt B=layp)211.36-は) Gon 3.404 2

【数列漸化式】 （iv）で、最初の式変形の仕方がわかりません。

(30点)定数a., bに対し, ai== a, bi =bとし, 次の漸化式で数列 {a,}, {b.} を定義す 2 る。 等 1 an 4 3 -bm (n= 1,2,3,….) 始大(ー an+1 4 /3 1 bn+1 = an + 4 4 「3 V3 1 したがって,a2= 6, b2 = ーめである。 aー a+ 4 4 4 0 次の に適する解答を,解答用紙の定められた場所に記入せよ. 答して (i) a4 = ケ a1と表せることから,C» = a3m-2 で定義された数列{cm}は等比数列であ り、一般項は cn= らて = で交り となる。 コ ている。 Bの左 (ii) b4 = サ biと表せることから, dn= b3m-2で定義された数列 {dn}も等比数列であ り,一般項はd シ となる。 三 数列{en}, げn}をそれぞれe,= a3n-1, fn= asnで定義すると,上の漸化式より 1 a3n-2 - 4 V3 b3m-2なので,一般項はそれぞれ a3n-1 = 4 f。=(-})(-)となる。 V3 ばね Bから enミ ス 8 8 8 離れ (iv) 正の整数 m に対し, 3m k=1 = D て となる。 けるカがN) そんと のうち、 必 なものを用い 0.

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,). 指針> まず,an+2 をx, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を熱く、 上め ニx+6を解くと、 572 an+2-an+1=ー5(an+1-Qn) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まない から, ② を用いて りに 基本 例題123 隣接3項間の漸化式( 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ OO00 基本 次の寺 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 p.571 基本事項 2解を、Bとすると, αキBのとき 針> が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3an} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると につ an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) Oより,数列{an++ 2am} は初項a2+2a,3D1,公比3の等比 の, ゆ (x+2)(x-3)=0から の x=-2, 3 α=-2, B=3として掛 のAを利用。 数列であるから an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 3 比数列であるから an+1-3an=(-2)"! の がS 3-4から 5a,=3"-1-(-2)"-1 1 an= 5 |an+1 を消去。 る したがって ute TSanti= antレ-San an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列{an+1-an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-Qn=(-5)”-1 x=1, -5 n-1 an=Qi+2(-5)*-!=1+ k=1 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=Qn+ +50« よって an+i+5am 三 n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1であるから, 上の式 =an+5an-1 =……=a+5a=l はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7を変形し、 したがって a,=17-(-5)"-"} an+1- から a

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？その違いを教えてください🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1==B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,) (p.571 基本事項I(0,、 ニx+6を解くと, an+2-an+1=ー5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まないから, ② を用いて 2通りに 指針> まず,an+2 をx?, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を解く 572 O000 基本 例題123 隣接3項間の潮化式リ (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 指 2解を8とすると, αキBのとき が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3am} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, 5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると とにつ の, an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) 0より,数外{an++2am} は初項 a2+2a1=1,公比3の等比 (x+2)(x-3)=0から x=-2, 3 α=-2, B=3として福 an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 比数列であるから ant1-3an=(-2)"- 5a,=3"-1-(-2)"1 数列であるから ののを利用。 3-の から lan+1 を消去。 て Sさで 1 anミ 5 したがって San Gute TSaariに antに an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列 {an+1一an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-an=(-5)"-1 x=1, -5 n-1 an=Q;+2(-5)*-!=1+ 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=&n+ +5 よって an+i+5am k=1 三 され 6 =an+5an-1 n=1を代入すると, (7-(-5)}=1であるから, 上の式 =……=0a+5a はn=1のときも成り立つ。 an+1+5am=7を変形し an+1- 6 --ロー(-)) したがって an {7- から a,=1-(- 意