【数列漸化式】 （iv）で、最初の式変形の仕方がわかりません。

(30点)定数a., bに対し, ai== a, bi =bとし, 次の漸化式で数列 {a,}, {b.} を定義す 2 る。 等 1 an 4 3 -bm (n= 1,2,3,….) 始大(ー an+1 4 /3 1 bn+1 = an + 4 4 「3 V3 1 したがって,a2= 6, b2 = ーめである。 aー a+ 4 4 4 0 次の に適する解答を,解答用紙の定められた場所に記入せよ. 答して (i) a4 = ケ a1と表せることから,C» = a3m-2 で定義された数列{cm}は等比数列であ り、一般項は cn= らて = で交り となる。 コ ている。 Bの左 (ii) b4 = サ biと表せることから, dn= b3m-2で定義された数列 {dn}も等比数列であ り,一般項はd シ となる。 三 数列{en}, げn}をそれぞれe,= a3n-1, fn= asnで定義すると,上の漸化式より 1 a3n-2 - 4 V3 b3m-2なので,一般項はそれぞれ a3n-1 = 4 f。=(-})(-)となる。 V3 ばね Bから enミ ス 8 8 8 離れ (iv) 正の整数 m に対し, 3m k=1 = D て となる。 けるカがN) そんと のうち、 必 なものを用い 0.

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,). 指針> まず,an+2 をx, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を熱く、 上め ニx+6を解くと、 572 an+2-an+1=ー5(an+1-Qn) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まない から, ② を用いて りに 基本 例題123 隣接3項間の漸化式( 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ OO00 基本 次の寺 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 p.571 基本事項 2解を、Bとすると, αキBのとき 針> が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3an} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると につ an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) Oより,数列{an++ 2am} は初項a2+2a,3D1,公比3の等比 の, ゆ (x+2)(x-3)=0から の x=-2, 3 α=-2, B=3として掛 のAを利用。 数列であるから an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 3 比数列であるから an+1-3an=(-2)"! の がS 3-4から 5a,=3"-1-(-2)"-1 1 an= 5 |an+1 を消去。 る したがって ute TSanti= antレ-San an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列{an+1-an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-Qn=(-5)”-1 x=1, -5 n-1 an=Qi+2(-5)*-!=1+ k=1 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=Qn+ +50« よって an+i+5am 三 n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1であるから, 上の式 =an+5an-1 =……=a+5a=l はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7を変形し、 したがって a,=17-(-5)"-"} an+1- から a

連立漸化式の問題です！！ bnの一般項はでたのですが、anの一般項が出せず困っています😢💦 右側の参考を活用して問題を解くには、どうすればよいのでしょうか？

基本 例題126 連立漸化式(2) 576 まと 基本118,125 D (2) 数列 {an), (6n} の一般項を求めよ。 (基 antxbn=(a+xb,)y"- (2) (1) から, 数列 {an+xb,}は公比yの等比数列となり これにa,= bn+1ーb月を代入し, an を消去すると bn+1=(1-x)b,+(a+xbi)y"-! an+1=pa,+q"型の漸化式 (カ.564 基本例題 118)に帰着。 よって, ① の両辺をy"*1 で割ればよい。 解答 (解法2〕 [1つの数 に関する漸化式に帰着させ る]の方針による解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(antbn) =(5+x)an+(-4+x)bm よって, an+1+xbn+1=y(an+xb,)とすると (5+x)an+(-4+x)bn=yan+xybn これがすべてのnについて成り立つための条件は 5+x=y, -4+x=xy 5+x=yを -4+x=xyに代入して整理すると x+4x+4=0 したがって,求める x, yの値は an+1=5an-46, bn+1=an+bm 2から an=bn+1-bm, an+1=bn+2-bn+l これらをOに代入して bn+2-6bm+1+96m=0 特性方程式x°-6.x+9=0を 解くと x=3(重解) よって、p.573 基本例題 124 と同じ方針で,まず一般項。 を求める。 ゆえに x=-2 c=-2, y=3 (2) (1) から an+1-26n+1=3(an-2bn) よって,数列{an-2bn} は, 初項a-26,=3, 公比3の等比 数列であるから an-26n=3·3"11=3" すなわち an=2bn+3" これに an=bn+1-bnを代入すると bn+1=36,+3" bn+1 (an+1= pantq" 型は両辺 q"+1 で割る(p.564 参照)。 bn 1 両辺を3*+1 で割ると 37+1 3" 3 b」 数列は,初項=--公差-の等差数列で 3" 3 3 3' 1_n-2 あるから bn 3" 3 3 a,=3"-(2n-1), b,=3"-'(n-2) Aan=26,+3" に代入。 よって

③、④よりってとこで出てきた⑤の式がなんでそういう式になったのかがわかりません。誰か教えてくださいお願いします

漸化式(I) KoHEOK 1 CHECK3 元気カアップ問題 130 CHECK2 難易度 次の連立漸化式を解いて, 一般項 a, と b. を求めよ。 ai=-2, bi=4 Jan+1=-2a,+4b, 1bn+1= 4a,-2b, 2) 数 列 ヒント!) 対称形の連立漸化式: an+1=pa,+ qb,……⑦, ba+1=gan+Pbn の場合の+のとの-①から, 2つの等比関数列型漸化式 F(n+1)=rF(n) を導く ことができる。 後は, アッ!という間に解けるんだね。頑張ろう! 解答&解説 ココがポイント a1=-2, bi=4 対称形の連立漸化式 Jan+1=-2a,+4b, ……① (ba+1= 4a,-2b。 Jan+1=pa,+qb。 16m+1=ga,+pbn の+のとの-のを求めれば, 2つのF(n+1)=r·F(n)の 形に持ち込める。 の+2より,a,n+1+bm+1=2(a,+b.)……… 3 [F(n+1) =2.F(n)] 0-F(n)=a,+b。とおくと, F(n+1)= an+1+ba+1 F(1) = a,+b となるね。 *G(n) = a,-b。とおくと, G(n+1)= an+1-ba+1 G(1) = a-bi となる。 0-2より,an+1-ba+1=-6(an-b.) ニ アッ! -2 4 3, のより, a,+b,= ((a)+b)) 2"1=2" - 4 6 よりり 4,=5(2+(-6)} (答) 2 学より、あ--(-6) {2"-(-6)"} (答) 5 より, bn= 空間ベクトル

「これを解いて」と省略されていて解き方、途中式が分かりません💦 どうやったらα,βが出るのか教えていただけると嬉しいです💫 連立漸化式の途中式です。

ゆえに 3+2a-β=0, 1+4α-aβ=0 これを解いて α=1, β=5 または α= B=2

青チャートの数列の範囲です。 青い線を引いてるところなのですが、なぜすべてのnについて成り立っていないとダメなのでしょうか？ なんとなくはわかるのですが、明確な意味がわかりません。教えてください。

厚本例題125 連立漸化式 (1) 教列(an), {bn} をa=bi=1, an+1=Qn+4bn, bn+1=an+bnで定めるとき 575 O0 txbn+1=y(an+xb») を満たす x, yの組を2組求めよ。 数列 {an), {b»} の一般項を求めよ。 計>本間は,2つの数列{an}, {bn} についての漸化式が与えられている。 このようなタイプで D an+1 にお 【類埼玉大) フみ、 こ生 は,次の2つの解法がある。 「解法1] 等比数列 {a,+kb,} を利用する。 【解法2](an を消去 して, 数列{bn}の隣接3項間の漸化式に帰着させる。 (1)は,数列 {an +xb»} が等比数列となるための条件を求めさせている。よって, [解法1] 公あ 3章 16 の方針で解く。 CHART 連立漸新化式 an+1+.cbn+1=y(an+xb,)の形を導き出す 解答 a+a+xbn+1=Qn+4bn+x(an+bn) =(1+x)an+(4+x)bm よって, ag+1+xbn+1=y(an+xb») とすると 7(1+x)an+(4+x)bn=yan+xybn これがすべてのnについて成り立つための条件は 1+x=y, 4+x=xy x=4 参考 [解法2] [1つの数列 に関する漸化式に帰着させ る]の方針による解答 an+1=an+4bn………… 0 bn+1=an+bn 2から an=bn+1-bm, an+1=bm+2-bn+1 これらをOに代入して ゆえに よって x=±2 bn+2-26n+1-3bm=0 ゆえに これは隣接3項間の漸化式。 特性方程式x-2.x-3=0を 解くと x=-1, 3 よって、p.572 基本例題 123 (1)と同じ方針で、 まず一般項 2 (1)から Yet+262ま=3(a+26»), a.+2b、=3; -26n+ニー(a,-26,),、a.-2b、=-1 よって,数列 {an+26,} は初項 3, 公比3の等比数列; 数列 {an-26,}は初項 -1, 公比 -1の等比数列。 ゆえに bnを求める。 の, an+26,=3·37-1_3" an-26,=ー(-1)"-1= (11)" のt2-2から 40, 2を an, b。の連立方 程式とみて解く。 a,ミ 2 アリートから bn= 4 このタイプの漸化式は,まず2つの新化式の和·差をとってみると,うまくいく場 もある(b.589 EXERCISES 87 (1) 参照)。 -6h bat=an+7bn で定めるとき |種々の漸化式

どう考えたらいいですか？ 試行錯誤して2an+3bnになる時を探せばいいですか？ 時間がかかりそうです…

568 次の条件によって定められる数列 (2J, (5。] がある。 ggー6, デ1。 2+ュの十36。 6ュー22。十25。 数別 (Z。ー5。) の一般項を求めよ。 / 数列 (2g。二9 の一般項を求めよ。 還 数列 {g (2) の一般項を, それぞれ求めよ。

あってるか教えて欲しいです、答えがないもので…… 問題は右下の四角にあります

NR 7紗 でてに てなりまう 点のてでかがい >符釣5 3。

確率漸化式の問題ですが、答えがないのでどなたか教えていただけると大変助かります。

、 玖仙 の用ちか 記:とた きど少:友る >97見点が記灯 リポ に テク たツメ 人参ぅ> サ邊記2 4Vか ある3見あか-ぶ灯 ょ恵みこの り軸條 玉*。 の大 ぐ

数列の単元で相加、相乗という言葉が授業中に少しでてきたのですが、なにか関係があるのでしょうか 教えてくださると嬉しいです。