この丸で囲った部分の極限値を求める時にどうしてcosに絶対値を勝手につけて考えているのですか？

2√√x x>0 として, 閉区間 [x, x + 1] で平均値 の定理を用いると 208 sin√√x+1-sin√x (x+1)-x x < c<x+1 COS 2√c 考え方 1=eであることに着 を満たすc が存在する。 30 (1) 関数 f(x) = ex は実数全体 x<<x+1より, x→∞のとき→∞ り f'(x) = ex であるから lim(sinx+1−sinx) x→∞ lim X∞ sinx+1−sinx (i) x>0 のとき, 閉区間 [C 定理を用いると (x+1)-x ex - eº =e, 0<c• (幸) lim COS C→∞ 2√√C ここで,0≦|cos√c≦1 であるから x-0 を満たすcが存在する。 0 <c <x より,x→+0の であるから COS C COS C 1 2√c |2√c| 2√√c lim x+0 x lim x+0 x- 1 すなわち = ec = 0 ≤ 2√C 12√c ここで,c→∞のとき(1 0であ |2√c| (ii) x < 0 のとき, 閉区間 [x, C 定理を用いると るから e-ex =e,x<c<0 0-x COS C lim =0 811 2√c C はさみうちの原 理 を満たすc が存在する。 ゆえに lim COS√C =0 C→∞ 2√c したがって 能であり f'(x) = -sinx lim(sin√x+1-sin√x)=lim X∞ (2) 関数 f(x) = COSx は実数全体で微分可 COS√C 3 2√c = 0 (i), (ii)より したがって lim x→0 209 x < 0 として閉区間 [2x, x] で平均値の 定理を用いると COS x cos2x Ex-2x を満たすc が存在する。 x < 0 のとき 2x < x TOS - sinc, 2x < c<x 考え方 f(x+a)-f(a) という式の形から 値の定理を適用する区間を考える。 関数 f(x) は実数全体で微分可能である より任意の実について の定理を用いると P x<c<0より,x→0のとき であるから lime-1 = lim x x-0 x lim x+0 = lime=1 x 8110 x -1=1 = lim eº-ex

図とか書いても 解答の ここで、のあとの解説が理解できないです、、 どなたか一から教えて欲しいです

72 第2章 関数 ( 1変数 ) 重要 例題 016 逆三角関数の性質 sin(Sin't+Cos't) = 1 を示せ。 指針 逆三角関数 Sin't Cost の定義を確認する 問題である。 これらはどちらも、閉区間 (0<x) (1) mil 重要 y4 関数 f の lim n→∞ [-1, 1] 上で定義された連続関数である。 そし て, Sin' は値域が [一であり、 Sin 11 0 x 0 指針 必 Cos t Cos't は値が [0, π] である。 これらを踏ま えて三角関数の定義と照らし合わせると, -1 解答 1 Sin' Cost がどこの角度を測っているか。 が、図のようにわかる。 [1] ここでは,tの符号によって角の測り方が変わるから三角関数の加法定理 sin(a+β)=sina cos β+ cosasinβ を使って機械的に解こう。 CHART 逆三角関数 三角関数の逆関数 x=siny y=Sin ¹x x=cos y y=Cos¹x x=tany⇔y=Tan'x 解答 加法定理により sin(Sin 't+Cos-lt)=sin(Sin't)cos(Cos-lt)+cos (Sin-1t)sin (Cos-'t) =t2+cos (Sin't) sin (Cos 't) 77 ここでより, cos(Sin-lt) 20であるから cos(int)=√1-sin'(Sin't)=√1-ゼ また,Costaより, sin (Cos 't) 20であるから を作 sin Cost)=√1-cos" (Cos 't)=√1 よって sin(Sin't+Cost)=t2+(√1-t2)=1 参考例えば, t>0 の場合, Cost と Sin't は, それぞれ右で図示され 角度を与える。 の正の向きから時計回りに測った角度である。 ただし Cos-'t は x 軸の正の向きから反時計回りに、Sin't y tsug y Mint Cost この図から、閉区間[0, 1] 上のすべての実数に対し、 Sin' + Cos = 2 となることがわかる。 0 t1x したがって sin(Sin-'t+Cos^'t)=sinz=1

最後の式変形がわかりません

重要 例題 134 定積分の計算 xの関数 f(x) が閉区間 [0, 1] で連続である。 .10% (1)x=-t とおくことによって, 次の等式が成立することを示せ。 T Sexs(sinx)dx=S (π-x)f(sinx)dx 2 π C を示せ TRAVE (2)等式 Soxf (sinx)dx=nof(sinx)dx が成立することを示せ。 0 (3) Sex sin'xdxの値を求めよ。 [神戸商船大] 基本128 CHART & SOLUTION (1) おき換えが指定されているから,それに従って置換積分する。 また、定積分の値は、積分変数の文字に無関係。 (3)(2)を利用して,xf(sinx) の定積分をf(sinx) の定積分に変形する。 (2) (1) 解答 (1)xt とおくと dx=-dt xtの対応は右のようになる。 よって Sxf (sinx)dx π x TC t 22 とす int (1) 定積分の値は, 積分変数の文字に無関係 であるから,最後にtをx におき換えてよい。 FST-901- 2 -S(πーt)f(sin(xt))・(-1)dt 2 π π =(2x-1)s (sint) dt=f(x-x)f(sinx)dx sin(r-t)=sint 10

問2.1の証明が分かりません。 ※1枚目が質問内容、2枚目が仮定

問 2.1 例1 (b), (c) で R" に定義された各種の距離 dp : R" × R” → [0,∞) (p = 1,2,...,∞) において, R” の点列 πm:= (x(m),x(m),...,xmm))∈R(m= R" 2 1,2,･･･) が, 点æ= (π1, 2,...,πn) ∈R" に収束するためには,各k ∈ {1, 2,...,n} に対し (m) →πk (m→8) となることが必要十分であることを示せ.

⑵ってどのように解くんですか？

次の関数は最大値、最小値をもつか。 もしもつならば,その値を求めよ (1)y=2x-x2 (0≦x≦3) (2) y=cosx (0<x<27) (x)が閉区間「 で法な > A

<o、＞oをしている意味がわかりません。 ただf(o)≠f(2/π)を言えばいいのではないでしょうか？

それでは、次の練習問題 練習問題 27 中間値の定理 CHECK 1 CHECK 2 CHEA 方程式 sinx+x-1=0 ① は,<x<量の範囲に少なくとも1つ 実数解をもつことを示せ。 f(x)=sinx+x-1 とおくと,これはxの範囲で連続で, S(0)-1<0.1 (1/2)-10 となる。後は分かるね。 f(x)=sinx+x-1...... ② とおくと, f(x) は, ∞ <x<∞で連続な関数 なので当然, 閉区間 10,212 でも連続 な関数だね。 ここで,x=0とx=1のとき, y=sinx と y=x-1は 共に連続な関数なので、 その和も連続関数になる。 一般に, 2つの連続関 f(x) g(x) について f(x)+g(x) も 96 f(0) = sin0+0-1=-1<0 sin=0 22 K <f(0) +f(z) f(x)-g(x) も f(x) xg(x)も,そして f(x) (g(x) ≠0) も g(x) 連続な関数になる。

このような説明があったのですが（Ⅰ）（Ⅱ）は公式なのでしょうか？このような形は初めて見たので疑問に感じました。教えて頂きたいです。

3. 何度か出てきましたが,ここで凸不等式について確認しておきます. 関数 f(x) が区間 I = [a, b] (a<b)で第1次導関数 f'(x) をもち, I で f'(x) が単調に増加するとき(下に凸 15 (0),すべてのxelで次の不等 式が成り立つ、 (I) f(x) ≥ f'(p)(x − p)+f(p) (pel) ...... (*) (等号が成り立つのはx=pのとき) (II) f(x) ≦ b-a f(b)-f(a)(x-a) +f(a) ..(*) S (等号が成り立つのは x = a, bのとき 《証明》(I) g(x)=f(x)-f'(p)(x-p)-f(p) とおくと, g(x) = f'(x)-f'(p) は Iで増加だから, X a g'(x) 10 P 右表から g(x) b + 07 g(x) ≧g(p)=0 (x∈l) これはp=a, bのときも成り立つので, (*) が示された. (II) m = b-a f(b)-f(a), h(x)=f(x)-m(x-a)-f(a) とおく.平均値 の定理からm=f'(c), a <c <b となるc が存在する. h'(x)=f'(x)-m b は I で増加でh' (c) =0だから, 右表から h(x) ≤0 (x Є I) X a h'(x) - + 0 h(x) 0 0 等号は x = a, b のときだから, (*) が示さ=(z) れた. 上に凸なら不等式が逆向きになり,これらにより 「凹凸」から「曲線と接 線・弦の上下関係」 がわかります(15 フォローアップ 2+6

中間値の定理を使うときに閉区間において連続であることを示すとき連続であるって言うのはどうやってわかりますか？あとどうして開区間じゃなくて閉区間じゃないといけないんですか？

[0, 1」 *109 次の方程式は、与えられた範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示せ。 教p.65 例題 14 1564 1\x (1) x − ( 1² ) ² = ( ION =0(0<x<1) XC (2) 10g10x- =0 (10<x<100) 20

解答冊子の最後の2行の部分が自力では導き出せないので解説貰えませんか?一応自分のノートの写真も置いておきます。

21=\J( sin x)ax 89. よって, I= (2) f(x)=3 とおくと, f(x)は閉区間 [-1, 1] で連続である. したがって, (1)の等式を用いると. Sr x sinx dx -Srf(sin x)dr = 70 =f(sin x) dx 0 π = 7/S0 2 = = =- = π 2 -S₁ 0 T π 8 T X 2 3+x² (sin x) dx 8 Ső (2 0 T 4 sin x 3+sin ²x sin x 4-cos²: sin x -dx X 2- cos x log 3 dx [log (2-cos x) - log (2+cos x)] 8 ·+· 2-cos x log2+ cos x sin x 2+cos x テーマ | I dx 漸化式と部分積分法. (1) I= logxdx=|xlogx-x]=1 (大分大)

ロピタルの定理をわかりやすく説明してください

スマｰ の例 入の ※解 青 の2 ※解 い 日入選程学 8 160 |練習 ④92 解答 演習 例題 92 ロピタルの定理を利用した極限 (1) lim- x→0 ロピタルの定理を用いて,次の極限値を求めよ。 x-log(1+x) x² (1) は 指針 ロピタルの定理 (以下)は、 まず前提条件 lim f(x) が不定形 (10) のとき や g(x) また 0 また f' (x) lim x-a g'(x) (2) は また ( 2 ) 分母・分子を微分した式の極限 lim- x-00 (1) f(x)=x-log(1+x), g(x)=x2とすると 1 f'(x)=1- 1+x したがって f'(x) lim x-0 g'(x) とすると (1) lim x→0 したがって の不定形で (3)の0×(−∞)は変形するとの不定形になる。 (x²)' もまた な場合は,更に分母・分子を微分した式の極限を考える。 (e²x), x-log(1+x) x² (2) f(x)=x^2,g(x) = ex とすると lim x-x0 g"(x) lim x→0 XC -=lim x→0 lim X→∞ f'(x) lim x++0 g(x) (2) lim -=1 (有限確定値) ならば lim -=lim X→∞ x² e²x x→+0 x² x+∞0 0²x (3) lim xlog x x→+0 f'(x) = - =1/1₁ x f'(x)=2x,g'(x)=2e2x, f"(x)=2, g" (x)=4e²x f" (x) 500 2 4e2x =0 EXCOVE x 1+x=lim 2 (1+x)=1/ 2x x→02(1+x) 2 1 x 1+x '(x)=2x =0 x -=lim x→+0 1 x² したがって limxlogx = 0 を確かめてから適用する。 (3) xlogx= logx であるから, f(x)=10gx,g(x)=1 1 g'(x)=- 1 (2) lim 20 1 x² エール g(x) x→+0 f(x)=1 lim(-x)=0 ロピタルの定理を用いて,次の極限値を求めよ。 ex-e-x x-sinx x x→0 x2 8 8 18 の不定形になる。このよう 00000 p.159 参考事項 |lim{x-log(1+x)}=0, x→0 limx2=0 x→0 x→0であるから, x=0の近くで考える。 X18 <lim limx2=8, lime²x=8, lim2x=∞, lim2ex = ∞ lim f" (x ) g" (x) f' (x) g'(x) X-∞ lim =8 x→+0 x → =1=> =lim x-a =l <lim logx= -8, x→+0 (3) lilog 1 x+1 f(x) g(x) ②86 f(x)= EXER ③87 平均値 (1) 注意 ロピタルの定理は, 利用価値が高い定理である 高校数学の範囲外の内 容なので、 試験の答案とし てではなく、検算として使 う方がよい。 (2) (1) (2) ④88 関数 (1) (2) (3) ④89 (1 (2 HINT