Question

みみ

このような説明があったのですが（Ⅰ）（Ⅱ）は公式なのでしょうか？このような形は初めて見たので疑問に感じました。教えて頂きたいです。

3. 何度か出てきましたが,ここで凸不等式について確認しておきます.
関数 f(x) が区間 I = [a, b] (a<b)で第1次導関数 f'(x) をもち, I で
f'(x) が単調に増加するとき(下に凸 15 (0),すべてのxelで次の不等
式が成り立つ、
(I)
f(x) ≥ f'(p)(x − p)+f(p) (pel) ...... (*)
(等号が成り立つのはx=pのとき)
(II)
f(x) ≦
b-a
f(b)-f(a)(x-a) +f(a)
..(*)
S
(等号が成り立つのは x = a, bのとき
《証明》(I) g(x)=f(x)-f'(p)(x-p)-f(p) とおくと,
g(x) = f'(x)-f'(p) は Iで増加だから,
X
a
g'(x)
10
P
右表から
g(x)
b
+
07
g(x) ≧g(p)=0 (x∈l)
これはp=a, bのときも成り立つので, (*) が示された.
(II) m = b-a
f(b)-f(a), h(x)=f(x)-m(x-a)-f(a) とおく.平均値
の定理からm=f'(c), a <c <b となるc が存在する. h'(x)=f'(x)-m
b
は I で増加でh' (c) =0だから, 右表から
h(x) ≤0 (x Є I)
X
a
h'(x)
-
+
0
h(x)
0
0
等号は x = a, b のときだから, (*) が示さ=(z)
れた.
上に凸なら不等式が逆向きになり,これらにより 「凹凸」から「曲線と接
線・弦の上下関係」 がわかります(15 フォローアップ 2+6

Answer 1

あ

公式ではないですよ。

(Ⅰ)は下に凸のグラフでは任意の接点における接線は必ず元のグラフより下の位置にある

(Ⅱ)は下に凸のグラフは閉区間[a,b]において、その両端の点を結ぶ直線は必ず元のグラフより上の位置にある

これを記号を用いて表しています。