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重要 例題164 三角形の面積の最小値
面積が1である △ABC の辺 AB, BC, CA上にそれぞれ点D, E, Fを
254
AD:DB=BE: EC=CF:FA=t:(1-t) (ただし,0<t<1)となるようにと
る。
(1) AADF の面積をtを用いて表せ。
(2) ADEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を求めよ。
基本158
指針>(1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと,
AABCとAADF は ZAを共有していることに注目。
△ADF=-
-AD·AFsin A
AABC=-ABACsinA(=1),
(2) ADEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE) として求める。
Sはtの2次式 となるから, 基本形 a(t-p)+q に直す。
ただし,tの変域に要注意!
解答
検討
(1) AD=tAB, AF=(1-t)AC
であるから
一般に
D
1-t
△AB'C'
AB'·AC
AB-AC
△ADF= AD·AFsin A
1-t
F
△ABC
A
=(1-)AB·ACsinA
B
t E
1
-AB·ACsinA=1
△ABC=
C
B
よって
AADF=t(1-t)-AB·ACsinA
B
C
=t(1-t)
(*) 3t2-3t+1=3(ポ-)+
(2) (1)と同様にして
ABED=ACFE=t(1-t)
OA
よって
S=AABC-(△ADF+△BED+△CFE)
S0
S4 S=3f-3t+1
=1-3t(1-t)=3t?-3t+1=3{
ゆえに,0<tく1の範囲において, Sは
2
4
t=;のとき最小値
をとる。
0月
(D, E, Fがそれぞれ辺 AB, BC, CAの中点のとき最小となる)
最小
0
1
1
1_4O
